幂函数单调性 幂函数单调性的判断

幂函数的5种形式 他们分别的定义域 值域 奇偶性 单调性

幂函数的一般形式为y=x^a.

幂函数单调性 幂函数单调性的判断

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幂函数单调性 幂函数单调性的判断

幂函数单调性 幂函数单调性的判断

如果a取非零的有理数是比较容易理解的,不过初学者对于a取无理数,则不太容易理解,在我们的课程里,不要求掌握如何理解指数为无理数的问题,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识.因此我们只要接受它作为一个已知事实即可.

对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号（x的p次方）,如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,＋∞）.当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是（－∞,0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数；

排除了为0这种可能,即对于x0的所有实数,q不能是偶数；

排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数.

总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数.

在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数.

在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数.

而只有a为正数,0才进入函数的值域.

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,

因此下面给出幂函数在象限的各自情况.

可以看到：

（1）所有的图形都通过（1,1）这点.

（2）当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数.

（3）当a大于1时,幂函数图形下凹；当a小于1大于0时,幂函数图形上凸.

（4）当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大.

（5）a大于0,函数过（0,0）；a小于0,函数不过（0,0）点.

（6）显然幂函数限.

如何用图象表示幂函数的单调性？

按列表、描点和连线的方法，作出函数y=2分之1x的平方的图象，如下：

扩展资料

幂函数的讨论分析：

由于x大于0是对α的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到：

（1）所有的图像都通过（1，1）这点.（α≠0） α>0时 图象过点（0，0）和（1，1）。

（2）单调区间：

当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；

②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在象限内单调递增；

③当α为负奇数时，图像在三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在象限内单调递减。

当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

①当α>0，分母为偶数时，函数在象限内单调递增；

②当α>0，分母为奇数时，函数在、三象限各象限内单调递增；

③当α<0，分母为偶数时，函数在象限内单调递减；

④当α<0，分母为奇数时，函数在、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

（3）当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；

当0<α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。

当α<0时，图像为双曲线。

（4）在（0,1）上，幂函数中α越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中α越大，函数图像越远离x轴。

（5）当α<0时，α越小，图形倾斜程度越大。

（6）显然幂函数限。

（7）α=2n（n为整数）,该函数为偶函数 {x|x≠0}。

幂函数的单调性是什么?

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x）=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x），那么函数f(x)就叫奇函数。

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）。

偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。但由单调性不能倒推其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。

幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数。

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数。如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

如何判断幂函数单调性

1、函数的单调性的判断方法有两种：

（1）利用单调性的定义来判断；

（2）利用函数的导数的正负来判断；

2、什么是函数的单调性？

即函数单调性的定义：设x1,x2为定义域内的某个区间A上的任意两个实数，且x1

幂函数的性质是什么？

一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。