迪杰斯特拉算法难度什么水平 迪杰斯特拉算法是什么

djstl算法？

定义Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源短路径算法，用于计算一个到其他所有的短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用和临时标号方式，一种是用OPEN,

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短路径的Dijkstra算法

Dijkstra算法（迪杰斯特拉）是典型的短路径路由算法，用于计算一个到其他所有的短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出短路径的解，但由于它遍历计算的很多，所以效率低。可以用堆优化。

Dijkstra算法

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源短路径算法，用于计算一个到其他所有的短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。注意该算法要求图中不存在负权边。

简谈迪克斯特拉算法

一直想要学点简单的算法，叨叨了好久，开始吧【这篇文章的前言无非就是我想说点废话，大家可以选择性的过滤哈。】

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家 狄克斯特拉 于1959 年提出的，因此又叫 狄克斯特拉算法 。是从一个顶点到其余各顶点的 短路径 算法，解决的是有权图中短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

敲黑板~进入正题

迪杰斯特拉算法是目前 OIER 们用的短路算法，下面讲一下这个算法的思路【图丑，请大家忍耐一下】：

步，我们先把a加入，数组变成（s = {a}, dis[] = {0, ∞,∞,∞,∞,∞,∞,∞}）

第二步，找到和a近的点，为b，把b加入，并确定他的短路径【要注意箭头方向哈】，数组变成（s = {a, b}, dis[] ={0,2,∞,∞,∞,∞,∞,∞}）

第三步，找到和b近的点，为d，把d加入，并确定他的短路径【要注意箭头方向】，数组变成（s = {a, b, d}, dis[] = {0,2,∞,3,∞,∞,∞,∞}）

第四步，找到和d近的点，为e，把e加入，并确定他的短路径【要注意箭头方向】，数组变成（s = {a, b, d, e}, dis[] = {0,2,∞,3,5,∞,∞,∞}）

第五步，找到和e近的点，为f，把f加入，并确定他的短路径【要注意箭头方向】，数组变成（s = {a, b, d, e, f}, dis[] = {0,2,∞,3,5,9,∞,∞}）

第六步，找到和f近的点，为g，把g加入，并确定他的短路径【要注意箭头方向】，数组变成（s = {a, b, d, e, f, g}, dis[] = {0,2,∞,3,5,9,12,∞}）

第七步，目前只剩下c和h了，那么我们先要找到距离路径短的c，把c加入，并确定他的短路径，数组变成（s = {a, b, c, d, e, f, g}, dis[]= {0,2,13,3,5,9,12,∞}）

第八步，一步，我们找到距离路径短的h，把h加入，并确定他的短路径，数组变成（s = {a, b, c, d, e, f, g, h}, dis[] = {0,2,13,3,5,9,12,18}）

得嘞，这个大致的思路是这样的，还有后续哟，欲知后事如何，请看下回讲解~

dijkstra算法是什么？

迪杰斯特拉算法用来解决从顶点v0出发到其余顶点的短路径，该算法按照短路径长度递增的顺序产生所以短路径。

对于图G=（V，E），将图中的顶点分成两组：组S：已求出的短路径的终点（开始为｛v0}）。第二组V-S：尚未求出短路径的终点（开始为V-{v0}的全部结点）。

堆优化

思考

该算法复杂度为n^2,我们可以发现，如果边数远小于n^2,对此可以考虑用堆这种数据结构进行优化，取出短路径的复杂度降为O(1)；每次调整的复杂度降为O（elogn）；e为该点的边数，所以复杂度降为O((m+n)logn)。

实现

1、将源点加入堆，并调整堆。

2、选出堆顶元素u（即代价小的元素），从堆中删除，并对堆进行调整。

3、处理与u相邻的，未被访问过的，满足三角不等式的顶点

1):若该点在堆里，更新距离，并调整该元素在堆中的位置。

2):若该点不在堆里，加入堆，更新堆。

4、若取到的u为终点，结束算法；否则重复步骤2、3。

请教Dijkstra算法的时间复杂度

我们可以用大O符号将Dijkstra算法的运行时间表示为边数m和顶点数n的函数。

Dijkstra算法简单的实现方法是用一个链表或者数组来存储所有顶点的Q,所以搜索Q中小元素的运算(Extract-Min(Q))只需要线性搜索Q中的所有元素。这样的话算法的运行时间是O(n2)。

对于边数少于n2稀疏图来说，我们可以用邻接表来更有效的实现Dijkstra算法。同时需要将一个二叉堆或者斐波纳契堆用作优先队列来寻找小的顶点(Extract-Min)。当用到二叉堆的时候，算法所需的时间为O((m+n)log n)，斐波纳契堆能稍微提高一些性能，让算法运行时间达到O(m + n log n)。相关问题和算法

在Dijkstra算法的基础上作一些改动，可以扩展其功能。例如，有时希望在求得短路径的基础上再列出一些次短的路径。为此，可先在原图上计算出短路径，然后从图中删去该路径中的某一条边，在余下的子图中重新计算短路径。对于原短路径中的每一条边，均可求得一条删去该边后子图的短路径，这些路径经排序后即为原图的一系列次短路径。

OSPF（open shortest path first, 开放短路径优先）算法是Dijkstra算法在网络路由中的一个具体实现。

与Dijkstra算法不同，Bellman-Ford算法可用于具有负花费边的图，只要图中不存在总花费为负值且从源点 s 可达的环路（如果有这样的环路，则短路径不存在，因为沿环路循环多次即可无限制的降低总花费）。

与短路径问题有关的一个问题是旅行商问题(treling salean problem)，它要求找出通过所有顶点恰好一次且终回到源点的短路径。该问题是NP难的；换言之，与短路径问题不同，旅行商问题不太可能具有多项式时间算法。

如果有已知信息可用来估计某一点到目标点的距离，则可改用A算法，以减小短路径的搜索范围。

短路径 | 深入浅出Dijkstra算法（一）

上次我们介绍了神奇的只有 五行的 Floyd-Warshall 短路算法 ，它可以方便的求得 任意两点的短路径， 这称为 “多源短路”。

这次来介绍 指定一个点（源点）到其余各个顶点的短路径， 也叫做 “单源短路径”。 例如求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的短路径。

与 Floyd-Warshall 算法一样，这里仍然 使用二维数组 e 来存储顶点之间边的关系， 初始值如下。

我们还需要用 一个一维数组 dis 来存储 1 号顶点到其余各个顶点的初始路程， 我们可以称 dis 数组为 “距离表”， 如下。

我们将此时 dis 数组中的值称为 短路的“估计值”。

既然是 求 1 号顶点到其余各个顶点的短路程， 那就 先找一个离 1 号顶点近的顶点。

通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点近是 2 号顶点。 当选择了 2 号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”， 即 1 号顶点到 2 号顶点的短路程就是当前 dis[2]值。

为什么呢？你想啊， 目前离 1 号顶点近的是 2 号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得 1 号顶点到 2 号顶点的路程进一步缩短了。 因此 1 号顶点到其它顶点的路程肯定没有 1 号到 2 号顶点短，对吧 O(∩_∩)O~

既然选了 2 号顶点，接下来再来看 2 号顶点 有哪些 出边 呢。有 2->3 和 2->4 这两条边。

先讨论 通过 2->3 这条边能否让 1 号顶点到 3 号顶点的路程变短。 也就是说现在来比较 dis[3] 和 dis[2]+e[2][3] 的大小。其中 dis[3]表示 1 号顶点到 3 号顶点的路程，dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 号顶点到 2 号顶点的路程，e[2][3]表示 2->3 这条边。所以 dis[2]+e[2][3]就表示从 1 号顶点先到 2 号顶点，再通过 2->3 这条边，到达 3 号顶点的路程。

我们发现 dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新为 10。这个过程有个专业术语叫做 “松弛” 。即 1 号顶点到 3 号顶点的路程即 dis[3]，通过 2->3 这条边 松弛成功。 这便是 Dijkstra 算法的主要思想： 通过 “边” 来松弛 1 号顶点到其余各个顶点的路程。

同理通过 2->4（e[2][4]），可以将 dis[4]的值从 ∞ 松弛为 4（dis[4]初始为 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新为 4）。

刚才我们对 2 号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

接下来，继续在剩下的 3、4、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点近的顶点。通过上面更新过 dis 数组，当前离 1 号顶点近是 4 号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对 4 号顶点的所有出边（4->3，4->5 和 4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

继续在剩下的 3、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点近的顶点，这次选择 3 号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对 3 号顶点的所有出边（3->5）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

继续在剩下的 5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点近的顶点，这次选择 5 号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边（5->4）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

对 6 号顶点的所有出边进行松弛。因为这个例子中 6 号顶点没有出边，因此不用处理。 到此，dis 数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。

终 dis 数组如下，这便是 1 号顶点到其余各个顶点的短路径。

OK，现在来总结一下刚才的算法。 Dijkstra算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是 1 号顶点）近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，终得到源点到其余所有点的短路径。

基本步骤如下：

在 博客 中看到两个比较有趣的问题，也是在学习Dijkstra时，可能会有疑问的问题。

当我们看到上面这个图的时候，凭借多年对平面几何的学习，会发现在“三角形ABC”中，满足不了 构成三角形的条件(任意两边之和大于第三边)。 纳尼，那为什么图中能那样子画？

还是“三角形ABC”，以A为起点，B为终点，如果按照平面几何的知识， “两点之间线段短”， 那么，A到B的短距离就应该是6(线段AB)，但是，实际上A到B的短距离却是3+2=5。这又怎么解释？

其实，之所以会有上面的疑问，是因为 对边的权值和边的长度这两个概念的混淆， 。之所以这样画，也只是为了方便理解（每个人写草稿的方式不同，你完全可以用别的方式表示，只要便于你理解即可）。

PS：数组实现邻接表可能较难理解，可以看一下 这里

参考资料：

Dijkstra算法是一种基于贪心策略的算法。每次新扩展一个路程短的点，更新与其相邻的点的路程。当所有边权都为正时，由于不会存在一个路程更短的没扩展过的点，所以这个点的路程永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。

根据这个原理， 用Dijkstra算法求短路径的图不能有负权边， 因为扩展到负权边的时候会产生更短的路径，有可能破坏了已经更新的点路径不会发生改变的性质。

那么，有没有可以求带负权边的指定顶点到其余各个顶点的短路径算法（即“单源短路径”问题）呢？是有的， Bellman-Ford算法 就是一种。（我们已经知道了 Floyd-Warshall 可以解决“多源短路”问题，也要求图的边权均为正）

通过 邻接矩阵 的Dijkstra时间复杂度是 。其中每次找到离 1 号顶点近的顶点的时间复杂度是 O(N)，这里我们可以用 优先队列（堆） 来优化，使得这一部分的时间复杂度降低到 。这个我们将在后面讨论。

dijkstra算法复杂度是多少

1、简单复杂度是O(n2)。

Dijkstra 算法简单的实现方法是用一个链表或者数组来存储所有顶点的 Q，所以搜索 Q 中小元素的运算（Extract-Min(Q)）只需要线性搜索 Q 中的所有元素。这样的话算法的运行时间是 O(n2)。

附算法：

1 function Dijkstra(G, w, s)

2 for each vertex v in V[G]

3 d[v] := infinity

4 previous[v] := undefined

5 d[s] := 0

6 S := empty set

7 Q := set of all verts

8 while Q is not an empty set

9 u := Extract_Min(Q)

10 S := S union {u}

11 for each edge (u,v) outgoing from u

12 if d[v] > d[u] + w(u,v)

13 d[v] := d[u] + w(u,v)

14 previous[v] := uO（n）+O（1）+O（n）+O（n^2） == O（n^2).

2、用堆优化后的时间复杂度：O((m+n)log n)