如何证明根号三是无理数_证明根号3是无理数

根号3无理数的证明

方法一：设根号3=p/q(p、q为互质整数），则p^2=3q^2

如何证明根号三是无理数_证明根号3是无理数

如何证明根号三是无理数_证明根号3是无理数

所以3整除p^2,因3是质数，所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q

因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数

方法二：设x=根号3，则有方程x^2=3

设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数），根据牛顿有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，从而x=1或3，显然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。

方法三：设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1

根号3=根号31=根号3(ps+qt)=(√)s+(√3q)t=3qs+pt为整数，矛盾

证明根号3是无理数

证明：设√3不是无理数，而是有理数。

既然√3是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：

√3=p/q

又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q

为既约分数,即简分数形式。

把√3=p/q

两边平方

得3=(p^2)/(q^2)

即3(q^2)=p^2

由于3q^2是3的倍数数，p

必定3的倍数，设p=3m

由23(q^2)=9(m^2)

得q^2=3m^2

同理q必然也为偶数，设q=3n

既然p和q都是3的倍数，他们必定有公因数3，这与前面设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有设√3是有理数引起的。因此√3是无理数。

反证法：

设结论不成立（接下来用a表示根号3，因为不好打），即a为有理数，

那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得a=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到

p^2=3q^2,

接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）

因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分得到，

3r^2=q^2

同理，q也一定是3的倍数，于是p、q均为3的倍数，与p、q互质矛盾。

故有反证法的原理，知a为无理数

用反证法

设根号3是有理数，则必然能写成简分数n/m,n与m为互质整数。

令 根号3=x

x的平方=3=n的平方/m的平方

3为正整数，同时也是有理数，n的平方与m的平方互质（由n与m为互质整数得出）即不存在公约数，则m的平方必为1（不然无法等于一个整数3） 3=n的平方=x的平方

推出根号3=x=n, 由于n为整数，则根号3也为整数，显然是不对的，所以

根号3为无理数

怎么证明根号三是无理数

1、明白无理数定义：无限不循环小数；

2、设其值为x，则1＜x＜2，无论末尾1~9，其平方都不可能为0，

所以，x必为无限小数；

3、所有无限循环小数(纯循环和混循环两种）都可化为分数形式（小学就学过了）；

4、x不能化为分数形式：

（反证法：若x=p/q，p,q互质，则p平方与q平方互质，与x平方=(p平方) /(q平方)，矛盾）；

综合以上4点，x必为无限不循环小数……

这里有一个数论基础，“苦p,q互质，则p平方与q平方互质”，也是常识了，

证明也很简单的。。。

怎样证明根号3是无理数

：设√3是

。1^2< (√3)^2<2^2

1<√3<2,所以√3不是整数，

设√3=p/q ，p和q

把 √3=p/q 两边平方

3=(p^2)/(q^2)

3(q^2)=p^2

3q^2是3的倍数数，p 必定3的倍数，设p=3k

3(q^2)=9(k^2)

q^2=3k^2

同理q也是3的倍数数，

这与前面设p，q

矛盾。

因此√3是

。这是别人的

呵，试试看设√3是有理数，不妨令：

√3＝p/q 其中（p,q）=1

则有，p^2=3q^2

因为(p,q)=1，所以(p^2,q^2)=1

故可得：3|p^2

得：3|p^2

故可设p=3k

由√3＝p/q得√3＝3k/q (k,q)=1

得：q=3k^2

由上，同样可证：3|q^2

因此，3是p^2与q^2的公约数

这与(p,q)=1矛盾。

综上所述，√3为无理数。

注：

(p,q)=1是p,q互质的意思。

根号三怎么证明是无理数

证明：设√3=p/q(p、q为互质的整数)，

则3=p^2/q^2，p^2=3q^2，

∴p是3的倍数，设p=3K(K为整数)，

9K^2=3q^2，q^2=3K^2，

∴q也是3的倍数，

这样p、q有公因数3，这与设中p、q互质矛盾，

∴√3不能表示成两个整数的比，即√3不是有理数，

所以√3是无理数。

如何证明根号三是无理数

用反证法。设√3是有理数，则任何一个有理数都可以表示为既约分数m/n（即：m、n为整数，且互质）

因此√3=m/n，得3=m^2/n^2，即m^2=3n^2，因此m^2含有3的因数，因此m含有3的因数

设m=，则：（）^2=3n^2，得n^2=^2,因此n^2含有3的因数，因此n含有3的因数

所以，m、n均含有3的因素，与m、n互为质数矛盾，因此√3是无理数

这是一个通用的证法，可以证明√2、√5、√6等等是无理数。

如何证明根号3是无理数

用反证法

设根号3是有理数，则必然能写成简分数n/m,n与m为互质整数。

令 根号3=x

x的平方=3=n的平方/m的平方

3为正整数，同时也是有理数，n的平方与m的平方互质（由n与m为互质整数得出）即不存在公约数，则m的平方必为1（不然无法等于一个整数3） 3=n的平方=x的平方

推出根号3=x=n, 由于n为整数，则根号3也为整数，显然是不对的，所以

根号3为无理数

可设sqrt(3)=p/q;p,q互素且为正数。

则p^2=3q^2

所以可令p^2=3k,k>=1且为正数。

则q^2=k；

但是q,p互素，则q^2与p^2也互素，但由上所推可知，q^2与p^2有公因子k,矛盾，故sqrt(3)为无理数。