分形维数的意义 分形维数定义

为什么我用matlab计算的分形维数总是大于2？不是应该是在1到2之间吗

它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。15年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。10年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。二1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误时，发现误传输与无误传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类。1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何部著作《分开：形状、机遇和维数》。1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓朴维数的，总结了根据自相似性计算实验维数的方法，由于相似维数只对严格自相似这一小类集有意义，豪斯道夫维数虽然广泛，但在很多情形下难以用计算方法求得，因此分形几何的应用受到局限。1982年，曼德尔布罗特的新著《自然界的分形几何》出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避免这一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充维数，1983年格拉斯伯格（P.Graserger）和普罗克西娅（I.Procaccia）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1982年德金（F.M.Dekking）研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1982年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。 自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。确定性的古典分形集加入随机性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1968年，曼德尔布罗特研究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1974年他又提出了分形渗流模型。1988年，柴叶斯（j.T.Chayes）给出了详细的数学分析。1984年，扎乐（U.Zahle）通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。三动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1963年，气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。1976年，法国天文学家伊侬（M.Henon）考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1986年劳威尔（H.A.Lauwerier）将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：（！）局部不连通的分形集；（2）局部连通的分形拟圆周；（3）既不局部连能又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。 动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（G.Julia）和法图（P.Fatou）于18-19年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。随后50年间，这方面的研究没有得到什么进展。随着可用机算机来做实验，这一研究课题才又获得生机。1980年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集（M集）的张图来。1982道迪（A.Douady）构造了含参二次复映射fc ，其朱利亚集J（fc）随参数C的变化呈现各种各样的分形图象，的有道迪免子，圣马科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集与映射系数的关系，解新局面了解析映射击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫维数的数值解法。1983年，韦当（M.Widom）进一步推广了部分结果 。法图1926年就就开始整函数迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）证明指数映射的J集为复平面，解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J的性质异，1984年德万尼（R.L.Devanney）证明指数映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或复平面而J（fc）是康托尘或连通集。 复平面上使J（fc）成为连通集的点C组成M集即曼德尔布罗特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）认为，M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得重大进展，使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的，人们猜测M集是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通，目前尚不清楚。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。 M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个J集的图解目录表作用，即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学密性至今仍未确定，谭磊（Tan Lei）1985年证明了在每一个密休威茨点邻近M集与相关的J集之间存在着相似性。尤金斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。19年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实，研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。 巴斯莱（B.M.Barnsley）和德门科（S.Demko）1985年引入迭代函数系统，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。1985年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到M集D并D与M在连通性上的异。在一线性映射系迭代下，可以产生的分形曲线——双生龙曲线。1986年水谷（M.Mitzutani）等对其动力系统进行了研究。 一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集，贝德浮德（T.Bedford）等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。卡普兰（j.L.Kaplan）和约克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨（L.S.Young）1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。 多重分形（multifractals）是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔（T.Bohr）等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年，阿内多（A.Arneodo）等人将子波变换用于多重分形研究。费德（J.Feder）、特尔（T.Tel）等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李（J.Lee）等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克（C.Beck）得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。19年科维克（Z.Kov.acs）等引入双变量迭代系统，特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。四分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可作性强，是喁喁分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。 在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，M集和J集表现出的简单性与复杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界（SOC）现象的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。可以预言，一场关于分形科学哲学问题的讨论即将在国内展开。

一般二维平面内的直线、曲线是一维的

分形维数的意义 分形维数定义

分形维数的意义 分形维数定义

式中：M（r）为粒径≤r的颗粒总质量。

二维平面内的分形曲线，例如科赫曲线

其周长无穷，但是面积有限，所以维度大于1而小于2

而谢尔宾斯基海绵，

表面积是无限大，而占有的 3 维空间是有限的，其维数在2和3之间。

所以分形的位数还是看原来的图形的

1到2之间的应该（3）分维数的大小在某种程度上反映了土石混合体的平均粒径的大小，通过将平均粒径d50与其对应的维数D进行回归，其研究结果表明lgd50和 具有很好的线性关系。是分形曲线

如果还有问题就是用错了计算维度的公式

分形维数的计算方法有那些？能具体说一下吗？

从试验点布置图我们可以看出，整个试验场地大致可以分为3个试验子区，即：子区一，包括1#沉积岩是油、水的主要储集层.沉积岩孔隙间不仅是油、水的储存空间，也是油、水移动的主要通道.研究沉积岩孔隙空间的结构形态、形成机理，对于水文工程和石油工业都有极其根本意义.，3#，4#试验点；子区二，包括2#，5#试验点；子区三，包括6#，7#试验点。分析表2可以看出，在各个子区内各试验点的分维数相不大，而各子区之间试验点的分维数相相对较大。如“子区三”的6#，7#试验点的D1分别为2.39和2.34，D2为2.77和2.71。这与土石混合体在形成过程中受到的各种条件（如地形、地貌等由（6）式可有）因素的影响造成其分布极其不均匀有关。例如在现场踏勘过程中可以看到，在子区二即虎跳峡龙蟠1#勘探平硐洞口位置，有两块巨砾将其与周围的子区一和子区三分开，造成了其分维数上的别。但是从整个试验场地来看，其分维数分布在D1＝2.34～2.57及D2＝2.67～2.区域。所有这些，从另一个侧面反映了土石混合体这种特殊的地质体在空间上分布的极其不均匀性，但同一成因类型或者同一成因类型中的某一部位（如研究区位于龙蟠右岸变形体的下部）的粒度分维数近似或者相等，这给我们对土石混合体的区划提供了定量指标。

虎跳峡龙蟠右岸土石混合体粒度分形特征研究

图3 各试样的颗粒分形分布及颗粒含量累积曲线

徐文杰 胡瑞林

4.3 平均粒径与土石混合体的粒度维数的关系

（科学院地质与地球物理研究所工程地质力学重点实验室 100029）

（1）在各种内外动力作用下破坏形成的碎石块体，经过搬运沉积，再经过数万年的风化、填充作用，形成了今天的各种各样的土石混合体。虽然这种特殊的地质体成因复杂多样，但是其粒度分布仍然具有良好的统计自相似性。分维数可以用来作为土石混合体区划的定量参数，为进一步研究土石混合体的成因、分布等具有重要的意义。

摘要 应用分维理论对虎跳峡龙蟠右岸分布的土石混合体粒度分布的分维规律进行了研究分析，建立了平均粒径与相应的分维数之间的定量关系模型。通过研究表明，土石混合体具有良好的统计自相似性，由于其本身为级配不良土，在分维曲线上表现为双重分形分布，这种特殊的分维分布与土石混合体的成因及形成过程有关。

土石混合体 分形 粒度分析 平均粒径

土石混合体一般是由作为骨料的碎石或者块石和作为充填成分的粘土或砂土组成的一种特殊的工程地质体（图1）。其成因一般较为复杂，主要有坡积成因、崩积成因、冲洪积成因、冰积成因及人工堆积等，具有物质成分复杂、结构分布极其不规则、具地域性等特性，力学性质介于土与岩体之间。土石混合体是一种典型的粒状体，其力学性质和工程性状与其结构特性密切相关，土石混合体的结构特性从某种程度上决定了其力学性质和工程特性。但是由于土石混合体的成因决定了其结构具有高度的非线性特征，这就给我们研究其结构特征带来了很大的困难。

图1 虎跳峡龙蟠右岸土石混合体

本文应用分形几何理论，对虎跳峡龙蟠右岸分布的土石混合体的粒度成分进行了分维分析，取得了一些有益的结论。

1 土石混合体的基本粒度构成

据勘查资料，龙蟠右岸表层土石混合体的分布厚度为5.0～40.0m不等，碎石粒径1～5cm居多，其碎石骨料主要由砂岩组成，少量为板岩风化碎屑，而且表面极其粗糙、菱角分明、形状不规则（图1）；填充料为粘土，含量甚少。研究区土石混合体的成因主要为坡积和冰积。

为了研究的需要，我们选定位于虎跳峡水电勘查工程龙蟠1#平硐附近的土石混合体作为本次试验研究的采样场地，其高程约为1892.0m。在试验过程中，共选择了7个取样点，其位置分布位于龙蟠右岸变形体范围之内（图2），各试验点的筛分取样质量见表1。对这些样品我们进行了现场粒度筛分试样，得到了各粒组的质量百分含量（表2）。

图2 粒度分析点布置示意图 表1 各试验点的取样质量

表2 各试样的粒度分形分析结果

注：表中r代表颗粒粒径，所有颗粒粒径单位均为cm。

分形几何是一门新的数学分支，它主要是用来描述自然界的不规则以及杂乱无章的现象和行为。目前应用较多的是线性分形，即具有自相似性的分形。所谓自相似性是指局部是整体成比例缩小的性质，定量描述这种自相似性的参数是分维。但是自然界的分形不像理论分形那么纯粹和“干净”，存在着标度区，研究对象是否为分形的区别准则是无标度性的［4］。

自法国数学家Mandelbrot提出分形理论以来，人们对地质现象的分形性质的研究与日俱增。土体的粒度分布特征便是一种被广泛研究的地质现象。如果我们把研究的土体看作一个系统，显然这是一个开放的自组织系统，所谓自组织是在没有外交特定的干预下系统所获得的空间的、时间的或功能的结构。这样的系统存在着对其演化起主导作用的自由度，其大小表征了系统的有序程度。粒度分布实质上描述的是这一系统物质组成的空间结构（分形结构），由于分维大小与土体演化环境、力学性质密切相关，一次可以把分维作为描述该系统自组织程度的一个参数——序参量［4］。土石混合体属于土体这个自组织系统的整个演化过程中的一个高级演化阶段，用分维来描述其粒度分布对于土石混合体的结构研究具有重要的意义。

根据分形理论，设用孔径为r的筛子来筛分试验区的土石混合体，粒径≤r的颗粒数目为N（r），它与粒径r满足下列关系：

N（r）∝ r-D （1）

式中：D为土石混合体颗粒分布的分维数。

由于土石混合体的粒度分析过程中，样本量大，直接计算颗粒的数目相当困难，甚至是不可能的。为了实用上的方便，必须对（1）式加以改进。

对（1）式求导，可得

dN（r）∝ r-D-1dr （2）

在成因类型相同且分布在同一研究区域内的地质体，颗粒密度可以认为是不变的。在这种情况下，颗粒的质量与其粒径的3次方成正比，即满足如下关系式：

dM（r）∝ r3dN（r） （3）

将（3）式代入（2）式得

对（4）式进行积分得到

P（r）∝ r3-D （6）

D＝ 3 - n （7）

3 土石混合体粒度分形的数据处理

根据现场各试样的颗粒筛分结果，求出各个粒组对应的质量百分含量，累积即可得小于粒径r的颗粒的质量累计百分含量P（r）。根据所求得的P（r）及相应的r我们就可以对研究区的土石混合体进行分维分析。根据计算结果我们得到了相应各试样的分维值D和回归相关系数R（见表2），及各试样的颗粒分维分布及颗粒含量累积曲线（图3）。

从表2的分形分析结构及粒度分形曲线上可以看出，尽管试验区土石混合体的颗粒粒径尺寸悬殊达2～160mm之多。但通过将各试样的粒径尺度划分为两个范围即：r≤20mm和r＞20mm两段，然后在各量测尺度范围内进行分维计算分析，结果发现在各量测尺度内各个试样的lgP（r）和lgr之间存在很好的线性相关性，回归系数R都在0.97 以上，说明研究区的土石混合体粒度分布具有良好的分形结构，在统计意义上满足自相似规律。

4 土石混合体粒度分形特征分析

4.1 研究区土石混合体的粒度分维曲线特征

从研究区各试样的粒度分维分布曲线可以看出，该区的土石混合体的颗粒分布具有2个维数，即为二重分维分布。这与土石混合体的粒径分布极其不均匀有关，如本区的土石混合体Cu达到50而Cc大于5，属于级配不良土。

从分形分布曲线上还可以看出，虽然各个试样均具有二重分维特征，但对每个研究试样来说这两个分维量测尺度均被r＝20mm所分割。形成了r≤20mm所对应的包含砂粒、粉粒及粘粒的“细粒”区和r＞20mm所对应的包含碎石及块石的“粗粒”区两个分维空间，每个分维空间分别对应不同的维数D1和D2，且满足D1＜D2。

土石混合体粒度分维呈现的这种二重分维乃至多重分维现象，应该从其各粒度分维空间成因来解释。研究区分布的土石混合体主要是坡积或冰积成因的，由于其搬运距离短，其物源多为粒度极其不均匀、分选性的块石等组成，这些物质构成了现在的土石混合体的骨架——“粗粒”；而在数万年的风化及地下水流的冲刷、搬运等作用下，部分大颗粒被分解，形成土石混合体的充填成分——“细粒”。由于成因上的别，使得这些“细粒”相对于作为骨架的“粗粒”分选性较好，在粒度分维曲线上表现为分段现象（多重分维现象），而相应的分维数则表现为前面所述的D1＜D2。

从图3中可以看出，D1和D2值的（在图中表现为两回归拟和直线的夹角）的大小与其对应的颗粒累积曲线有关，越小（即两直线的夹角越小）其对应的累积曲线就越平缓，土石混合体的分选性就越，级配相对越好。当D1和D2趋于相等时，对应于级配良好土。

4.2 研究区土石混合体的粒度分维特征

对于不同的筛分试样，同一个P（r）可能对应于不同的r值及不同的分维数D。现在我们来分析一下当P（r）取某一值时，对于不同筛分试样的r与分维数D之间的对应关系。

P（r）＝ Kr3-D＋ C （8）

式中：K、C为常数。

对（8）式两边取对数有

土石混合体

据（9）式我们可以求得其平均粒径（即P（d50）＝50时的粒径d50）与分维数D满足下列关系：

土石混合体

根据图3我们可以得到试验区各个试样的d50及其对应的维数D（表3），然后在半对数-分数坐标中绘制 曲线（图4）。对数据进行回归分析，可得到d50与D之

间的关系（11）式，相应的回归相关系数R＝0.9337，该关系式很好地描述了土石混合体的平均粒径与对应维数之间的定量关系。

土石混合体 表3 各试样的平均粒径及对应分维数

从（11）式可以看出，试样的分维数在某种程度上反映了土石混合体平均粒径的大小，随着平均粒径的增大其具有降低的趋势，可以作为描述土石混合体粗细程度的一个指标。

5 结论

参考文献

［1］ Perfect E，Kay B D.Fractal theory applied to soil aggregation.Soil Sci.Soc.Am.，19，J.55，1552～1558

［2］ Rasiah V，Kay B D，Perfect E.New mass-based model for estimating fractal dimensions of soil aggregates.Soil Sci.Soc.Am.，1993，57，8～895

［3］ Turcotte D L.Fractals and fragmentation.Geophys.Res.，1986，（B2），1921～1926

［4］刘松玉，方磊，陈浩东.论我国特殊土粒度分布的分形结构.岩土工程学报，1993，15（1）：23～30

［6］徐永福，刘斯宏，董平.粒状土体的结构模型.岩土力学，2001，22（4）：366～372

［7］柏春广，王建.一种新的粒度指标：沉积物粒度分维值及其环境意义.沉积学报，2003，21（2）：234～239

［8］谢和平.分形——岩石力学导论.：科学出版社，2005

［9］陈颙.分形几何.：出版社，1998

［10］徐文杰，胡瑞林等.虎跳峡龙蟠右岸土石混合体野外试验研究.岩石力学与工程学报，2006，25（6）：1270～1277

［11］殷跃平，张加桂.三峡库区巫山新城址松散堆积体成因机制研究.工程地质学报，2000，8（3）：265～271

［12］ Oleschko K，Figueroa B S，Miranda M E etc.Mass fractal dimensions and some selected physical properties of contrasting soils and sediments of Mexico.Soil ＆ Tillage Research 2000，55：43～61

如何理解分形的维度

后者可以看作定义了距离的拓扑空间，更特殊。

不同的尺度（大小）的同一种分形图形之间具有某个共同的几何参数，即这一参数是一个与尺度大小无关的不变量，这个量就是分形中的分数维。

［13］ James P Hyslip，Luis E Vallejo.Fractal ysis of the roughness and size distribution of granular materials.Engineering Geology，1997，48：231～244

分形维度用的是Hausdorff维度[1]，我们平时说的是Leesgue维度[2]。这两个定义是不同的。

因此，根据土石混合体的颗粒分布累计曲线，作出P（r）～r在双对数坐标下的曲线图形，求出无标度区的直线部分的斜率 n，即可方便地求出土石混合体粒度分布的分维数：

1、分形维数的诞生，告诉了我们自然世界并不是简单的欧几里德维数空间，而是还有更大的非欧几何。同时，有的人说分形几何是自然界的几何，也一定程度上说明了分形几何的维数是一个衡量自然界的图形的变化情况的标准。

2、分形维数实际上相当于是一个尺子的标记，而这个尺子的适用范围比较广，不仅仅是用来求长度。

具体定义有能力的话请看维基。

Leesgue维度定义在拓扑空间上，而Hausdorff维度定义在测度空间上。

两者都拓展了维度的定义，后者允许维度为非负实数，前者的维度仍是非负整数。

在分形上，经常不同。

平面上的填充曲线，其 Hausdorff 维度，根据定义，等于被填充的方块的维度，等于 2。

分形维数的计算方法有那些？能具体说一下吗？

dM［5］胡瑞林，李向全等.分形理论在M（＜r）是所有尺寸小于r的碎块的质量之和，M0是全体碎块质量之和，r0是所有碎块的平均尺寸.ν是常数.黄土湿陷性微结构效应研究中的应用.非线性动力学学报，1996，3（4）：360～366（r）∝ r2-Ddr （4）

请大侠们帮忙把分形理论介绍一下，有一些实际方面的应用！

近年来，突变理论、混沌理论、分形几何等与非线性复杂现象有关的新理论、新观点、新方法已不同程度地渗入到岩土力学的研究领域。尤其是分形几何（Fractal Geometry）理论自20世纪80年代形成以来，在岩土力学领域得到了广泛的应用，使得过去我们认为难以解释或难以描述的问题的解决变成可能。80年代末，分形方法被引入到土的结构研究中，国内外的许多学者对此进行了较为深入的探讨和研究，包括 E.Perfect［1］，V.Rasiab［2］，D.L.Turcotte［33、分形维数另外一方面也是一个标准，就是说明这个几何（2）土石混合体属于级配不良土，其粒径分布极其不均匀，但粒径分布具有多重分维特性。本研究区的土石混合体具有二重分维结构（对应两个分形维数D1和D2），这与土石混合体中“粗粒”和“细粒”的成因类型有关。D1和D2之的反映了土石混合体颗粒累积曲线的平缓程度及其分选性好坏。图形的变化情况，］，及国内的刘松玉［4］、胡瑞林［5］、徐永福［6］等。所有的这些理论和经验，为我们在土石混合体的结构研究方面开辟了一条新的途径。

新相的长大为什么会有扩散控制长大和界面控制长大两种类型

由于粒径≤r的颗粒的质量累计百分含量P（r）与M（r）成正比关系，即P（r）∝M（r），代入（5）式得

分形生长是分形理论及其应用研究中的一个重要的研究方向。扩散限制凝聚 是分形生长中的一个典型的生长过程，它在生物、物理、数学、工程等领域有着 广泛的应用，它提供了一个理解许多其它生长过程的基础，可以用来预测某些实 际随机凝聚的生长速率与时间的关系，以及它们的物理机制和输运特性。尤其是 近年来人们应用它来模拟癌细胞的扩散凝聚，使得分形生长成为目前非线性领域 的一个研究热点，但目前大多数的研究工作仍集中于计算机模拟，因此对其数学 机制和物理机制的研究变得尤为重要。本文从描述扩散限制凝聚的数学模型入 手，详细地对生长过程进行了系统的分析、研究和控制，内容主要涉及以下几个 方面： 描述扩散限制凝聚生长的数学模型是拉普拉斯方程，本文在已有的用拉普拉 斯方程模拟分形生长的基础上，提出了改进的生长模型，并对分形生长过程进行 了仿真，为后续的研究工作奠定了基础。 根据布朗运动随图4 平均粒径与对应维数之间的关系曲线机行走的意义，在拉普拉斯方程离散化过程中引入了迭代步 长，模拟并分析了迭代步长的变化对分形生长以及分形维数的影响。尤其是各个 方向上不等步长的分析，体现了分形各向异性生长的性质。 将热传导方程中的有源扩散方程应用到分形领域，利用离散扩散方程解矩阵 的特点引入源项，分析了不同形式的源项对决定分形生长的浓度分布规律的影 响，实现了分形生长的有效控制。同时为选择合理的控制参数和控制区域提供了 一种参考方法，使得扩散限制凝聚生长这种复杂的动力学行为变得可以预测和控 制。

M（r）∝ r3-D （5）

碎形与断裂

它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。15年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。10年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。二1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误时，发现误传输与无误传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类。1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何部著作《分开：形状、机遇和维数》。1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓朴维数的，总结了根据自相似性计算实验维数的方法，由于相似维数只对严格自相似这一小类集有意义，豪斯道夫维数虽然广泛，但在很多情形下难以用计算方法求得，因此分形几何的应用受到局限。1982年，曼德尔布罗特的新著《自然界的分形几何》出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避免这一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充维数，1983年格拉斯伯格（P.Graserger）和普罗克西娅（I.Procaccia）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1982年德金（F.M.Dekking）研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1982年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。 自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。确定性的古典分形集加入随机性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1968年，曼德尔布罗特研究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1974年他又提出了分形渗流模型。1988年，柴叶斯（j.T.Chayes）给出了详细的数学分析。1984年，扎乐（U.Zahle）通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。三动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1963年，气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。1976年，法国天文学家伊侬（M.Henon）考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1986年劳威尔（H.A.Lauwerier）将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：（！）局部不连通的分形集；（2）局部连通的分形拟圆周；（3）既不局部连能又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。 动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（G.Julia）和法图（P.Fatou）于18-19年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。随后50年间，这方面的研究没有得到什么进展。随着可用机算机来做实验，这一研究课题才又获得生机。1980年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集（M集）的张图来。1982道迪（A.Douady）构造了含参二次复映射fc ，其朱利亚集J（fc）随参数C的变化呈现各种各样的分形图象，的有道迪免子，圣马科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集与映射系数的关系，解新局面了解析映射击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫维数的数值解法。1983年，韦当（M.Widom）进一步推广了部分结果 。法图1926年就就开始整函数迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）证明指数映射的J集为复平面，解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J的性质异，1984年德万尼（R.L.Devanney）证明指数映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或复平面而J（fc）是康托尘或连通集。 复平面上使J（fc）成为连通集的点C组成M集即曼德尔布罗特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）认为，M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得重大进展，使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的，人们猜测M集是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通，目前尚不清楚。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。 M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个J集的图解目录表作用，即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学密性至今仍未确定，谭磊（Tan Lei）1985年证明了在每一个密休威茨点邻近M集与相关的J集之间存在着相似性。尤金斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。19年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实，研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。 巴斯莱（B.M.Barnsley）和德门科（S.Demko）1985年引入迭代函数系统，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。1985年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到M集D并D与M在连通性上的异。在一线性映射系迭代下，可以产生的分形曲线——双生龙曲线。1986年水谷（M.Mitzutani）等对其动力系统进行了研究。 一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集，贝德浮德（T.Bedford）等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。卡普兰（j.L.Kaplan）和约克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨（L.S.Young）1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。 多重分形（multifractals）是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔（T.Bohr）等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年，阿内多（A.Arneodo）等人将子波变换用于多重分形研究。费德（J.Feder）、特尔（T.Tel）等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李（J.Lee）等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克（C.Beck）得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。19年科维克（Z.Kov.acs）等引入双变量迭代系统，特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。四分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可作性强，是喁喁分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。 在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，M集和J集表现出的简单性与复杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界（SOC）现象的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。可以预言，一场关于分形科学哲学问题的讨论即将在国内展开。

越来越多的证据表明，岩石破裂（形貌与过程）、断层（分布与生长）及，在很宽的范围内都显示出在时间、空间和强度分布方面的分形特征.在地质材料学中，人们已经发现岩石从微观晶粒尺寸到宏观的几万公里的范围内都具有某些统计自相似规律；在微观尺寸下，如微观晶粒边界的扩散现象，孔隙表面，矿物成分的分布，液体的渗透现象等表现出分形特征；在细观尺寸下，微裂纹的扩展与分叉，损伤分布，断裂表面的形貌，岩石内材料破碎后的块度分布等都具有分形几何律；在宏观尺寸下，海岸线的形状，山形的起伏，断层，河网水系等都具有统计自相似规律性.

岩石受压时微破裂的发生在时间上是分形的，并且对均匀性不同的岩石其分形也不同.

通常情况下，对于硬岩和中硬岩，应变-时间的幂函数关系都是成立的.

岩石的抗压强度与岩石的密度有关，σc∝ρ2.85，ρ为密度，σc为岩石的抗压强度.

岩石强度与许多参数显现幂函数关系，其成2 土石混合体粒度分维计算模型因有待进一步研究.有人认为，岩石内部矿物组成及颗粒分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractalgeometry)。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory)。大小的不均匀性可能是一个重要因素.对岩石力学性质与分形关系的研究可能有益于对分布在时空上分形现象的研究，有益于对矿构造的形成与分布的理解.

岩石三轴实验断裂面的分形区域与其断裂性质与晶粒尺寸有密切关系.岩石三轴破坏断裂面平行剪断方向的分形维数随应力的增加而增加，垂直断裂面分形维数基本不随应力而变化.说明岩石三轴破坏断裂面，各向分形维数不同，断口为自仿射分形.分形维数同断裂损伤能具有较好的对应关系，说明分形维数是较好反映其断裂机理的一个综合参量.

由于像断裂、断层和节理这些构造过程作用的结果，地球表面是破碎的.进一步的风化过程使得岩石更加破碎.各种爆炸过程能使岩石进一步破碎.

破碎的发展和传播是一个极其复杂的非线性过程，即使对于形状十分简单的传播问题，仍然需要非常复杂的模型来描述.碎形生成过程包含许多不同标度上的破裂的相互作用.如果碎形在很大的标度范围内产生，其自然标度与材料性质和破碎过程无关，那么可以预料，碎形中的数目与大小之间的分布将是分形的.

一般认为断层体系具有最典型的分形结构.断层作为一种重要的地质现象，在空间分布，大小-频数，以及位移-长度等方面均体现一定的分形特征.

D值的物理意义可能和断层的规模或形成断层的能量有关，但目前尚无定论，对此问题仍在进行深入讨论和研究之中.

对于碎形中各碎块的大小和频数分布，可用各种统计关系来描述.最常用的是幂函数关系：

分形混沌与矿产预测

N（＞m）是质量大于m的碎块数目，C和b是由观察资料确定的常数.

对于碎块大小和频数的另一种经验关系是Weibull分布：

分形混沌与矿产预测

地质学中广泛应用的Rosin和Rammler分布：

分形混沌与矿产预测

式中M（＞r）是所有尺寸大于r的碎块的质量之和.

对于尺寸较小碎块，Weibull分布转化为幂函数分布：

分形混沌与矿产预测

分维数D与ν的关系：

分形混沌与矿产预测

对砂岩广泛测定的结果表明：除极个别均质气密性石英砂岩外，绝大多数砂岩的孔隙空间都具有分形性质.有的砂岩分形孔隙较少，有的砂岩分形孔隙占了主导地位.已经认识到孔隙与岩石界面（即孔隙壁）的粗糙性对孔隙空间的分形特性起着十分重要的作用.原生孔隙是比较光滑的.在成岩过程中，如粘土、碳酸盐胶结物、次生加大石英及其他孔隙填充物粘附和生长在孔隙壁上，使该表面变得十分粗糙.成岩改性程度愈高，孔隙壁愈粗糙.极端情况下，粗糙的孔隙壁褶皱挤入孔隙空间，甚至挤满了孔隙空间.在此条件下，砂岩孔隙空间几乎都是分形孔隙，孔隙壁的面分形维数与孔隙空间的体分形维数相同.因此，可以用分形孔隙在总孔隙中所占份额来衡量砂岩成岩改性的程度.

在许多情况下岩石物理性质的变化，如沉积序列中的孔隙度的变化，也是分形的.沉积序列的形成主要是靠暴风雨，它造成侵蚀作用，并使以前的沉积物重新沉积.这种分形的沉积序列表示暴风雨的频数与暴风雨的大小之间的统计关系也是分形的.暴风雨的大小可以用它造成的洪水来衡量.按照洪水统计的标准作法是给出百年一遇的洪水作为在100年中的洪水的标志.如果分形统计学成立的话，那么千年一遇的洪水与百年一遇的洪水的比值，应当等于百年一遇的洪水与十年一遇的洪水的比值，也应当等于十年一遇的洪水与一年一遇的洪水的比值.分形统计学所预期的洪水，比普通应用的指数统计学预期的洪水要更加.尽管在研究洪水频数与大小的统计关系方面作了许多研究，但受到历史资料的限制，因为要得到古代洪水大胆的估计是十分困难的事情.

对于流体力学和岩石研究，断层网络模拟具有重要意义.地质学家在含矿花岗岩体中观测了大约6600条断裂，断裂的长度变化范围为0.2～20m，采用了分形理论和地质统计学相结合的方法研究了断层网络.研究方法特点为：在分形研究中，适当变更比例尺可以得到可变的近似分维，如对于二维断层网络用10m作比例尺时，维数为2，用1m作比例尺时，维数为1.应用分形理论适合于模拟沿着一条直线分布的断裂.应用分形理论和地质统计学相结合的方法可以成功地模拟断层网络.当需要处理一个大岩体中的断层网络时，由于对规模巨大的断裂难于进行处理，必须建立简化模拟方案，应用分形的下列性质：适当变更比例尺可以得到近似的分维，可以得到在一定适当比例尺下的等价连续介质.然后，在此基础上进行地质统计模拟.

固相表面或两相界面的分形研究.高安秀树（1983）的研究表明，约75%以上的天然固体表面均为分形；Mandelbrot（1984）、Lung（1988）等利用光学显微镜和SEM等手段对薄膜材料和金属断口的表面形貌进行了研究，获得了材料在微米尺度上的分形特征；万明芳等（1996）采用STM在纳米尺度上对各种微晶及纳米硅薄膜的表面形貌进行了观测，发现对于硅薄膜材料，当其结构随着晶态体积百分比值进入纳米相时分维值呈现出.近十几年来，人们通过各种手段从实验上确认了沉积岩孔隙分布及孔隙与颗粒界面的分形结构，Jacquin等（1985）认为气-液相界面是分形的；Krohn（1988）及Yan等（1989）认为，孔隙-颗粒界面分维值可以指示沉积岩的形成条件；Aharonov等（1996）在10-2～102μm范围内，实验测定了大多沉积岩的孔隙-颗粒界面的分维值为2.6～2.8，证实了成岩改性过程中该分维值不断增大.