矩阵相似的充要条件_对称矩阵相似的充要条件

高等代数理论基础57：矩阵相似的条件

定理：设A,B是数域P上两个 矩阵,A与B相似的充要条件为它们的特征矩阵 和 等价

引理：若有 数字矩阵 使 ,则A与B相似

矩阵相似的充要条件_对称矩阵相似的充要条件

矩阵相似的充要条件_对称矩阵相似的充要条件

引理：对任何不为零的 数字矩阵A和 -矩阵 与 ,一定存在 -矩阵 与 以及数字矩阵 和 ,使 ,

矩阵A的特征矩阵 的不变因子简称为A的不变因子

推论：矩阵A与B相似的充要条件是它们有相同的不变因子

矩阵的特征x1，x2，xn线性无关，故p=[x1矩阵的秩一定为n,故 矩阵的不变因子总有n个,且它们的乘积即这个矩阵的特征多项式

注：不变因子是矩阵的相似不变量,故我们可将一个线性变换的任一矩阵的不变因子(与矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子

矩阵相似的充分条件

两个 -矩阵等价的充要条件为它们有相同的不变因子

虽然A和B的特征值相同是A相似于B的必要不充分条件，但是要注意如果A和B都没有重特征值的话这个条件就充分了。

P-1AP

你的例子里A没有重特征值，所以一定可以对角化。

两矩阵相似的充要条件是什么？

2、设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

矩阵相似的充要条件，设A，B是数域P上两个矩阵。

A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子，两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。注：定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现

1、求出全部的特征值。谱分解；

2、对每一个特征值,设其重数为k，则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

3、上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

高等代数理论基础57：矩阵相似的条件

满秩分解

引理：若有 数字矩阵 使 ,则A与B相似

引理：对任何不为零的 数字矩阵A和 -矩阵 与 ,一定存在 -矩阵 与 以及数字矩阵 和 ,使 ,

矩阵A的特征矩阵 的不变因子简称为A的不变因子

推论：矩阵A与B相似的充要条件是它必要条件是行列式相等,特征值相同,迹相等们有相同的不变因子

矩阵的特征矩阵的秩一定为n,故 矩阵的不变因子总有n个,且它们的乘积即这个矩阵的特征多项式

注：不变因子是矩阵的相似不变量,故我们可将一个线性变换的任一矩阵的不变因子(与矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子

请问矩阵等价与矩阵相似的充要条件都是秩相同吗？谢谢

三，两矩阵的特征值相同只是相似的必要非充分条件。因为不一定两个矩阵都能相似对角化，这样的话就无法以相同对角矩阵作为媒介来连接两个相似定义式。换句话说，如果不能得到两个相同结果的相似对角化，就无法根据特征值相同来得到一个相似关系。

秩相同不能推出相似，前者是后者的“充分”条件，而不是 “充要”条件

你好！不对，矩阵等价的充要条件是秩相同，而矩阵相似的必要条件是秩相同。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

例如 矩阵

1 0 0

0 0 0

0 0 0

和0 0 0

0 0 1

0 0 0

他们等价但是不相似，且秩都是1

等价和秩相同是充要条件

同型的矩阵等价的充要条件是秩相同

相似的充要条件要学过λ-矩阵才有结论

不过相似秩相同, 反之不成立

行列式相等是矩阵相似的充要条件吗?

正交矩阵的定理：

不是，是必要非充分条件。2个矩阵相似的必要条件是“两个矩阵的秩相等,行列式也相等”。

最直接的先看两个矩阵的迹（即主对角线上的元素相加的和）是否相等。

然后是根据特征方程式|λI-A|=0求出两个矩阵的特征值,看特征值是否相等,特征值如果相等了那么它们的行列式必然会相等（因为矩阵行列式的值等于特征值之积）,所以|A|=|B|自然就会成立了。

如果上面条件都成立的话就检验两个矩阵的秩是否相等，即对两个矩阵进行初等行变换,化成阶梯矩阵就可判定矩阵的秩。

线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的;反过来,如果两个矩阵相似,那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

矩阵相似的充要条件：

设A,B是数域P上两个矩阵,A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。注:定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化,则可按下列步骤来实现：

求出全部的……xn]=[入1x1特征值。

对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成,即为对应的线性无关的特征向量。

上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

怎样判断两个矩阵是否相似？急，在线等

设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

判断矩阵A，B是否相似的步骤：1，判断A,B的特征值及重数是否完全相同。不相同不相似，相同则第2步，判断A，B是否都可相似对角化，都可对角化，AB相似。一个可以相似对角化一个不可以，那么AB不相似。如果两个都不可相似对角化，判断A的每一个特征值对应的线性无关特征向量个数是否分别与B相同特征值对应的特征向量个数全部相同，如果相同，那么相似。对于一个A,B都不相似，举一个例子：比如A,B的特征值是a，b，c......,其中A矩阵特征值a对应的线性无关特征向量有两个，B矩阵特征值a对应的线性无关特征向量有一个，那么AB不相似,只有所有特征值a,b,c...对应的所有线性无关的特征向量个数分别相同，那么相似。

下面介绍A,B均相似对角化的情况下，A，B相似，求可逆矩阵P，使得B=(P^-1)AP。(P1^-1)AP1 = (P2^-1)BP2 = diag(r1,r2,.....,r3)，B=（P1P2^-1)^-1 A (P1p2^-1),所以P=P1p2^-1。

相似的充要条件是它们的特征矩阵等价

这个结论……入nxn]超出了线性代数的范围

当两个矩阵都可对角化时, 相似的充要条件是特征值相同

怎样判断两个矩阵是否相似集在线？ 如果他俩在线上，如果路途是一边儿长的就是相等的。

两矩阵相似的充要条件

但是有一个重要的结论需要知道：n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（重特征值按重数计算个数）。

两个矩阵相似的充要条件可以通再给你一个比较实用的充分条件，对于实对称矩阵而言特征值相同则相似。过以下方式描述：

充分条件：如果存在一个可逆矩阵 P，使得 A 和 B 满足以下关系：B = P^(-1) A P，其中，^(-1) 表示 P 的逆矩阵。必要条件：如果矩阵 A 和 B 相似，则它们一定有相同的特征值。换句话说，如果 A 和 B 相似，那么它们的特征多项式和特征值都相同。

进一步地，如果 A 和 B 是 n x n 矩阵，它们相似，则它们还具有相同的特征多项式的根的重数。换句话说，它们的特征多项式的根的重数相同。虽然相似性是一个重要的线性代数概念，但它与矩阵的具体结构和元素无关。相似性关系通常用于矩阵的特征值分析、对角化和相似变换等方面。

矩阵介绍

矩阵是由数字或变量按照矩形排列成行和列的方阵。一个具有 m 行和 n 列的矩阵可以表示为 m x n 的形式，其中 m 表示行数，n 表示列数。矩阵中的每个元素可以用小写字母加上下标的形式表示，如 Aij，其中 i 表示行索引，j 表示列索引。例如，A = [Aij] 是一个 m x n 的矩阵，其中每个 Aij 表示矩阵 A 中的一个元素。运算包括加法、减法、数乘、乘法和转置等作：

1. 加法和减法：对应位置的元素相加或相减，两个具有相同行列数的矩阵才能进行加减法。

2. 数乘：将矩阵的每个元素与一个常数相乘。

3. 乘法：矩阵乘法是指两个矩阵相乘后得到一个新的矩阵。要进行矩阵乘法，个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。

4. 转置：将矩阵的行转换为列，列转换为行，得到一个新的矩阵。

矩阵在数学和各个科学领域中有广泛的应用，如线性代数、统计学、物理学、计算机科学和经济学等。矩阵的运算可以用来解决线性方程组、表示线性变换、进行数据处理和模型建立等问题。

可相似对角化的充分必要条件是什么？

n阶矩阵在复数范围内，一定有n个特征值（重特征值按重数计算个数），从这个意义上说，矩阵的特征值个数与矩阵的阶数是有关系的。n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了。

可相似对角化的充分必要条件是：n阶方阵存在n个线性无关的特征向量。

推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵。

如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。

可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理：它们的特征值和特征向量是已知的，并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。

矩阵对角化的条件：

有个线性无关的特征向量，可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵A相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵P使得P1AP是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。

如果V是有限维度的向量空间，则线性映射T：V→V被称为可对角化的，如果存在V的一个基，T关于它可被表示为对角矩阵。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的合同是存在非异矩阵P，使得PAP‘=B，注意，这里P’是P的转置，而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征，负特征数目一样。过程。

矩阵合同等价的充要条件是什么？

p2

矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。 总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩

矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件. 其中L是一个单位下三角矩阵，U是一个单位上三角矩阵，P是一个置换矩阵。 而满足分解条件的矩阵L,U,P称为矩阵A的一个LUP分解 。。

扩展资料

矩阵的分解

主条目：矩阵分解

矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

三角分解

设,则A可以地分解为A=U1R ,其中U1是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵，或A可以地分解为其中L是正线上三角复矩阵，是酉矩阵

谱分解（Spectral decomition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

奇异值分解

LUP分解

LUP分解的思想就是找出三个n×n矩阵L,U,P，满足

参考资料：