指数函数知识点 指数函数知识点总结图

关于一次、二次、指数、对数、幂、三角函数的定义域 值域 奇偶性 周期性 对称性 单调性的知识点

一次函数：y = ax + b（a ≠ 0）。

指数函数知识点 指数函数知识点总结图

指数函数知识点 指数函数知识点总结图

定义域：全体实数R。

值域：全体实数R。

奇偶性：b = 0 时为奇函数；b ≠ 0 时非奇非偶。

周期性：无。

对称性：b = 0 时为中心对称；b ≠ 0 时无对称性。

单调性：a > 0 时为增函数；a < 0 时为减函数。

二次函数：y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）。

定义域：全体实数R。

值域：a > 0 时为[ (4ac-b^2)/4a, +∞ )；a < 0 时为[ -∞, (4ac-b^2)/4a )。

奇偶性：b = 0 时为偶函数；b ≠ 0 时非奇非偶。

奇偶性：非奇非偶。

周期性：无。

对称性：无。

单调性：a > 0 且 a < 1 时为减函数；a > 1 时为增函数。

其余函数类似讨论。 。。。。。。。。。。

高中数学必修一知识点归纳幂函数和指数函数,对数函数部分的知识点

1．幂函数

(1)定义形如y=xα的函数叫幂函数,其中α为常数,在中学阶段只研究α为有理数的情形

2．指数函数和对数函数

(1)定义

指数函数,y=ax(a＞0,且a≠1),注意与幂函数的区别．

对数函数y＝logax(a＞0,且a≠1)．

指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数．

(2)指数函数y=ax(a＞0,且a≠1)与对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)的图象和性质如表1-2．

(3)指数方程和对数方程

指数方程和对数方程属于超越方程,在中学阶段只要求会解一些简单的特殊类型指数方程和对数方程,基本思想是将它们化成代数方程来解．其基本类型和解法见表1-3．

指数函数知识点

指数函数是数学中重要的函数。应用到值 e上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的写为 e，这里的 e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。

当a>1时，指数函数对于 x的负数值非常平坦，对于 x的正数值迅速攀升，在 x等于 0 的时候等于 1。当0

作为实数变量 x的函数，y=e^x 的图像总是正的(在 x轴之上)并递增(从左向右看)。它触及 x轴，尽管它可以任意程度的靠近它(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数 x上。

有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如 kax 的

指数函数

函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。本文初集中于带有底数为欧拉数 e 的指数函数。

指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

在函数y=a^x中可以看到：

（1） 指数函数的定义域为所有实数的，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，

同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

（2） 指数函数的值域为大于0的实数。

（3） 函数图形都是下凸的。

（4） a大于1时，则指数函数单调递增；若a小于1大于0，则为单调递减的。

（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过

指数函数

程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且相交。

（7） 函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)

（8） 显然指数函数。

（9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。

编辑本段公式推导

e的定义：e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...

设a>0,a!=1----(log a(x))'

=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)

=lim(Δx→∞)(1/xx/Δxlog a((x+Δx)/x))

=lim(Δx→∞)(1/xlog a((1+Δx/x)^(x/Δx)))

=1/xlim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))

=1/xlog a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))

=1/xlog a(e)特殊地，

当a=e时，

(log a(x))'=(ln x)'=1/x。

设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x

导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地，

当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

编辑本段函数图像

指数函数

（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。（如右图）》。

编辑本段幂的比较

比较大小常用方法：（1）比（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：

（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1。

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可

指数函数

以利用指数函数图像的变化规律来判断。

例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.

（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：

<1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

<2> 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）时，a^x大于1，异向时a^x小于1.

〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由.

⑴y=4^x

因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；

⑵y=(1/4)^x

因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数

编辑本段定义域

指代一切实数（-∞，+∞），就是R。

编辑本段值域

对于一切指数函数y=a^x来讲。他的a满足a>0且a≠1，即说明y>0。所以值域为（0,+∞)。a=1时也可以，此时值域恒为1。

编辑本段化简技巧

（1）把分子、分母分解因式，可约分的先约分

（2）利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母

（3）把其中适当的几个分式先化简，重点突破.

指数函数

（4）可考虑整体思想，用换元法使分式简化

编辑本段对应关系

（1）曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为（-∞，+∞）。

（2）曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠

指数函数

近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞）

（3）曲线过定点（0，1）〈=〉x=0时，函数值y=a^0（零次方）=1（a>0且a≠1）

（4）a>1时，曲线由左向右逐渐上升即a>1时，函数在（-∞，+∞）上是增函数；0

编辑本段概念

（1）指数函数的定义域为所有实数的，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

（2）指数函数的值域为大于0的实数。

（3）函数图形都是下凹的。[1]

（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，相交。

（7）函数总是通过（0，1）这点。

（8）显然指数函数。

词条图册更多图册

词条图(7张)

参考资料

1． 高一数学知识点归纳：指数函数、函数奇偶性 ．高考网 [引用日期2012-10-20]

高三数学第二章必修五知识点

【 #高三# 导语】高中学习方法其实很简单，但是这个方法要一直保持下去，才能在终考试时看到成效，如果对某一科目感兴趣或者有天赋异禀，那么学习成绩会有明显提高，若是学习动力比较足或是受到了一些积极的影响或，分数也会大幅度上涨。 高三频道为你准备了《高三数学第二章必修五知识点》，希望助你一臂之力！

高三数学第二章必修五知识点（一）

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零;

2、偶次方根的被开方数大于等于零;

3、对数的真数大于零;

4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;

5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2;

6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法;

2、换元法;

3、待定系数法;

4、函数方程法;

5、参数法;

6、配方法

三、函数的值域的常用求法：

1、换元法;

2、配方法;

3、判别式法;

4、几何法;

5、不等式法;

6、单调性法;

7、直接法

四、函数的值的常用求法：

1、配方法;

2、换元法;

3、不等式法;

4、几何法;

5、单调性法

五、函数单调性的常用结论：

1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)+g(x)在这个区间上也为增(减)函数。

2、若f(x)为增(减)函数，则-f(x)为减(增)函数。

3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则f[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单调性不同，则f[g(x)]是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求值、解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0，如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0(反之不成立)。

2、两个奇(偶)函数之和()为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。

4、两个函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)]，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

高三数学第二章必修五知识点（二）

一个推导

利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，

同乘q得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，

两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=(q≠1).

两个防范

(1)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.

三种方法

等比数列的判断方法有：

(1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或an/an-1=q(q为非零常数且n≥2且n∈N)，则{an}是等比数列.

(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a=an·an+2(n∈N)，则数列{an}是等比数列.

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N)，则{an}是等比数列.

注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.

指数函数和对数函数知识点总概

你好！

指数函数和对数函数知识点

1．映射：注意 ①个中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；

⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、的意义等）；⑧利用函数有界性；⑨导数法

3．复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数 ；

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数 的定义域是内函数 的值域。

4．分段函数：值域（值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

⑵ 是奇函数

⑶ 是偶函数

⑷ 奇函数在原点有定义，则 ；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；

6．函数的单调性

⑴单调性的定义：

⑵单调性的判定

1 定义法：

注意：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；

②导数法（见导数部分）；

③复合函数法（见2 （2））；

④图像法。

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性

(1)周期性的定义：

对定义域内的任意 ，若有 （其中 为非零常数），则称函数 为周期函数， 为它的一个周期。

所有正周期中小的称为函数的小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指小正周期。

（2）三角函数的周期

⑶函数周期的判定

①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）

⑷与周期有关的结论

① 或 的周期为 ；

② 的图象关于点 中心对称 周期为2 ；

③ 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ；

④ 的图象关于点 中心对称，直线 轴对称 周期为4 ；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数 ⑵指数函数

⑶对数函数 ⑷正弦函数

⑸余弦函数 （6）正切函数⑺一元二次函数

⑻其它常用函数

1 正比例函数②反比例函数

2 函数

9．二次函数

⑴解析式

①一般式

②顶点式

③零点式

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

10．函数图象：

⑴图象作法 ①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

⑵图象变换

1 平移变换

3 伸缩变换

4 对称变换

5 翻转变换

11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数 与 图象的对称性，即证明 图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 的图象上，反之亦然；

注：

①曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;

②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a－x, y)=0;

③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

④f(a+x)=f(b－x) （x∈R） y=f(x)图像关于直线x= 对称；

特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R） y=f(x)图像关于直线x=a对称；

⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x= 对称；

12．函数零点的求法：

⑴直接法（求 的根）；⑵图象法；⑶二分法.

13．导数

⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作 ；

⑵常见函数的导数公式

⑶导数的四则运算法则：

⑷（理科）复合函数的导数：

⑸导数的应用：

①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？

②利用导数判断函数单调性：

ⅰ 是增函数；ⅱ 为减函数；

ⅲ 为常数；

③利用导数求极值：ⅰ求导数 ；ⅱ求方程 的根；ⅲ列表得极值。

④利用导数值与小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得值。

14．（理科）定积分

⑴定积分的定义

⑵定积分的性质

⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）

⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：

3 求变速直线运动的路程③求变力做功

望采纳！

指数函数和对数函数在生活中有什么应用

指数函数与对数函数是中学数学中重要的知识点和重要内容，也是解决盒处理生活实际中许多问题的重要函数模型和工具，在日常生活及实践中都有广泛而普遍的应用，现举例解析如下：

例1、为了预防流感，某学校对教室内用熏消毒法进行消毒。已知物释放过程中，室内每立方米空气中的含量 （毫克）与时间 （小时）成正比；物释放完毕后， 与 的函数关系为 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）从物释放开始，每立方米空气中的含量 （毫克）与时间 （小时）的函数关系式为 ；

（2）据测定，当空气中每立方米的含量降低到 毫克以下时，学生方可进教室，那么从物释放开始至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。

分析：本题中的指数函数的模型已经建立，关键是借助函数模型去解决实际中的问题：解：（1）从图中可以看出：当 时， ，即可求得方程 中的 ，所以 ；

（2）由题设 ，则 ，即 ，故 ，所以 ，

因此从物释放开始至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。

点评：本题说明指数函数模型在解决许多实际问题时有着广泛的应用。

例2、银行原采用的储蓄策略，是按利率 计息，且到期时，其利息自动转成为本金，即采取复利计息。如果以年利率为 计息，当然有更大的吸引力，所以为了吸引更多储户，银行准备出台一种新的储蓄方案：以本金的的年利率 计息，不计复利。但为了不使银行因为改变储蓄策略而蒙受损失，必须限定存期在若干年以上。请你分析一下，银行应限期多少年为好？

分析：可以指数函数为模型建立函数的模型，再通过解决数学模型有关的方程，进而使这一实际问题获得解决。因此设存入本金为 元，在第 年时，应付给储户的本息为 元，按新储蓄方案， 年时应付给储户的本息为 元，设限定 年，使 是银行有利可图的方案。若能找到方程 成立的根 即可，即求出方程 的解即可，在同一平面直角坐标系 中，作出函数的图象，只要求出这两个函数的图象交点的横坐标即可。

解析：

指数函数：y=a^x(a≠0)

对数函数：y=log[x]

(1)飞机/高铁/汽车，其背后的工程设计，许多地方均与指数函数和对数函数有关。

(2) 天气预报，股票行情，PM2.5指数，其背后的数学模型，均涉及到质数函数和对数函数。

对数和指数函数怎样判断其 定义域 值域 单调性 增减性 奇偶性？？？

定义域应该好说吧。对数函数定义域X>0 指数函数x是全体实数

值域对数函数是全体实数 指数函数是y>0

单调性都跟a的值有关，a>1都是单调递增，0

都非奇非偶

我不懂你说的增减性是什么意思。是否就是说的单调性？

我建议你从新看书。这些知识点必然书上都要有的，而且高考不止会这样考，比如会考求loga(x-4)的定义域。这时候要求x-4>0于是求得x>4懂了吗？

课本的基本概念 主要要学会画图像 这样就一目了然了