等比数列的性质 等比数列的性质教学反思

谁知道等数列和等比数列的一些性质和公式？

等比数列（又名几何数列）:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

1）等比数列：a（n+1）/an=q,

等比数列的性质 等比数列的性质教学反思

等比数列的性质 等比数列的性质教学反思

今天我们主要学习了有关等比数列的概念、通项公式、以及它的性质，通过今天的学习

n为自然数。

（2）通项公式：an=a1q^（n－1）；

推广式：

an=am·q^(n－m)；

（3）求和公式：Sn=na1(q=1)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

=(a1-a1q^n)/(1-q)

=a1/(1-q)-a1/(1-q)q^n

(前提：q不等于

1（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{anbn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。)

（4）性质：

①若

②在等比数列中，依次每

k项之和仍成等比数列.

(5）“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

（6）在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

Sn=n(a1+an)/2

或Sn=na1+n(n-1)d/2

应该是对于任一N均成立吧,那么Sn-S(n-1)=[n(a1+an)-(n-1)(a1+a(n-1))]/2=[a1+nan-(n-1)a(n-1)]/2=an

当n取n-1时式子变为,(n-3)a(n-1)-(n-2)a(n-2)=a1=(n-2)an-(n-1)a(n-1)

得2(n-2)a(n-1)=(n-2)(an+a(n-2))

当n大于2时得2a(n-1)=an+a(n-2)显然证得他是等数列

等比数列性质公式总结是什么？

化简得(n-2)an-(n-1)a(n-1)=a1,这对于任一N均成立

等比数列性质公式总结是在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。若an为等比数列且各项为正公比为q，则log以a为底an的对数成等，公为log以a为底q的对数，若G是ab的等比中项则G2等于ab，G不等于0，等比数列前n项之和。

等比数列性质公6、等比数列的性质式总结的特点

在等比数列中首项A1与公比q都不为零，由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an2、教学设计过程：本节课主要从以下几个方面展开：等于a1除q乘qn，它的指数函数y等于ax有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式，另外一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等数列，反之以任一个正数C为底，用一个等数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

等比数列的特性

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

性质：

(次类比)类似的，我们提出这样一个问题。

①若

⑥在数列{an}中每隔k(k∈N)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q^(k+1)；

m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq；

②在等比数列中，依次每

k项之和仍成等比数列.

③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则

（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…

等比数列是怎么算出来的？

等数列an = a1+(n-1)d

等比数列前n项和公式为：

1、数学知识：掌握等比数列的概念，通项公式，及其有关性质;

等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

(这里以填空的形式学生发挥自己的想法，对于“和”与“积”的情况，可以利用具体的例子予以说明：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的“和”(或“积”)等于同一个常数的话，这个数列是一个各项重复出现的“周期数列”，而与等数列最相似的是“比”为同一个常数的情况。而这个数列就是我们今天要研究的等比数列了。)

等比数列性质

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；

②在等比数列中，当q≠-1，或q=-1且k为奇数时，依次每 k项之和仍成等比数列。

如：银行有一种支付利息的方式---复利。

再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期。

等比数列的性质与等数列的性质

等比数列求和公式的性质：

等数列

性质

任意两项am，an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等数列广义的通项公式。

等比数列

性质

任意两项am，an的关系为an=am5、通项公式的应用(知三求一)·q^(n-教学过程m)

高三数学必修五《等比数列》教案

教案【一】

教学准备

教学目标

2、数学能力：通过等数列和等比数列的类比学习，培养学生类比归纳的能力;

归纳——猜想——证明的数学研究方法;

3、数学思想：培养学生分类讨论，函数的数学思想。

教学重难点

重点：等比数列的概念及其通项公式，如何通过类比利用等数列学习等比数列;

难点：等比数列的性质的探索过程。

教学过程：

1、问题引入：

问题1：满足什么条件的数列是等数列?如何确定一个等数列?

(学生口述，并投影)：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的等于同一个常数，那么这个数列就叫做等数列。

师：事实上，等数列的关键是一个“”字，即如果一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的等于同一个常数，那么这个数列就叫做等数列。

问题2：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的……等于同一个常数，那么这个数列叫做……数列。

2、新课：

师：这就牵涉到等比数列的通项公式问题，回忆一下等数列的通项公式是怎样得到的?类似于等数列，要想确定一个等比数列的通项公式，要知道什么?

师生共同简要回顾等数列的通项公式推导的方法：累加法和迭代法。

公式的推导：(师生共同完成)

若设等比数列的公比为q和首项为a1，则有：

方法一：(累乘法)

3)等比数列的性质：

下面我们一起来研究一下等比数列的性质

通过上面的研究，我们发现等比数列和等数列之间似乎有着相似的地方，这为我们研究等比数列的性质提供了一条思路：我们可以利用等数列的性质，通过类比得到等比数列的性质。

问题4：如果{an}是一个等数列，它有哪些性质?

(根据学生实际情况，可学生通过具体例子，寻找规律，如：

例1、一个等比数列的第二项是2，第三项与第四项的和是12，求它的第八项的值。

：1458或128。

例2、正项等比数列{an}中，a6·a15+a9·a12=30，则log15a1a2a3…a20=_10____.

例3、已知一个等数列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，能否在这个数列中取出一些项组成一个新的数列{cn}，使得{cn}是一个公比为2的等比数列，若能请指出{cn}中的第k项是等数列中的第几项?

(本题为开放题，没有的，如对于{cn}：2，4，8，16，……，2n，……，则ck=2k=2×2k-1，所以{cn}中的第k项是等数列中的第2k-1项。关键是对通项公式的理解)

1、小结：

我们不仅学到了关于等比数列的有关知识，更重要的是我们学会了由类比——猜想——证明的科学思维的过程。

2、作业：

P129：1，2，3

思考题：在等数列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，中取出一些项：6，12，24，48，……，组成一个新的数列{cn}，{cn}是一个公比为2的等比数列，请指出{cn}中的第k项是等数列中的第几项?

1、教学目标和重难点：首先作为等比数列的节课，对于等比数列的概念、通项公式及其性质是学生接下来学习等比数列的基础，是必须要落实的;其次，数学教学除了要传授知识，更重要的是传授科学的研究方法，等比数列是在等数列之后学习的因此对等比数列的学习必然要和等数列结合起来，通过等比数列和等数列的类比学习，对培养学生类比——猜想——证明的科学研究方法是有利的。这也就成了本节课的重点。

1)通过复习等数列的定义，类比得出等比数列的定义;

2)等比数列的通项公式的推导;

3)等比数列的性质;

有意识的学生复习等数列的定义及其通项公式的探求思路，一方面使学生回顾旧

知识，另一方面使学生通过联想，为类比地探索等比数列的定义、通项公式奠定基础。

在类比得到等比数列的定义之后，再对几个具体的数列进行鉴别，旨在遵循“特殊——一般——特殊”的认识规律，使学生体会观察、类比、归纳等合情推理方法的应用。培养学生应用知识的能力。

在得到等比数列的定义之后，探索等比数列的通项公式又是一个重点。这里通过问题3的设计，使学生产生不得不考虑通项公式的心理倾向，造成学生认知上的冲突，从而使学生主动完成对知识的接受。

通过等数列和等比数列的通项公式的比较使学生初步体会到等和等比的相似性，为下面类比学习等比数列的性质，做好铺垫。

等比性质的研究是本节课的，1、等比数列通项公式、求和公式：通过类比

教案【二】

教学准备

教学目标

知识目标：使学生掌握等比数列的定义及通项公式，发现等比数列的一些简单性质，并能运用定义及通项公式解决一些实际问题。

能力目标：培养运用归纳类比的方法发现问题并解决问题的能力及运用方程的思想的计算能力。

德育目标：培养积极动脑的学习作风，在数学观念上增强应用意识，在个性品质上培养学习兴趣。

教学重难点

本节的重点是等比数列的定义、通项公式及其简单应用，其解决办法是归纳、类比。

本节难点是对等比数列定义及通项公式的深刻理解，突破难点的关键在于紧扣定义，另外，灵活应用定义、公式、性质解决一些相关问题也是一个难点。

二、教法与学法分析

为了突出重点、突破难点，本节课主要采用观察、分析、类比、归纳的方法，让学生参与学习，将学生置于主置，发挥学生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索类比归纳的过程，使学生获得发现的成就感。在这个过程中，力求把握好以下几点：

①通过实例，让学生发现规律。让学生在问题情景中，经历知识的形成和发展，力求使学生学会用类比的思想去看待问题。②营造的教学氛围，把握好师生的情感交流，使学生参与教学全过程，让学生唱主角，老师任导演。③力求反馈的全面性、及时性。通过精心设计的提问，让学生思维动起来，针对学生回答的问题，老师进行适当的调控。④给学生思考的时间和空间，不急于把结果抛给学生，让学生自己去观察、分析、类比得出结果，老师点评，逐步养成科学严谨的学习态度，提高学生的推理能力。⑤以启迪思维为核心，启发有度，留有余地，导而弗牵，牵而弗达。这样做增加了学生的参与机会，增强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体，使学生学会学习，提高学生学习的兴趣和能力。

三、教学程序设计

(4)等中项：如果a、A、b成等数列，那么A叫做a与b的等中项。

说明：通过复习等数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等数列内容来分散本节课的难点。

2.导入新课

本章引言中关于在象棋棋盘各格子里放麦粒的问题中，各个格子的麦粒数依次是:

1,2,4,8,…,263

再来看两个数列：

5，25，125，625，...

···

说明：学生通过“观察、分析、归纳”，类比等数列的定义得出等比数列的定义，为进一步理解定义，给出下面的问题：

判定以下数列是否为等比数列，若是写出公比q，若不是，说出理由，然后回答下面问题。

-1,-2,-4,-8…

-前面我们已经研究了一类特殊的数列——等数列。1,2,-4,8…

-1,-1,-1,(2)把G.P的各项同乘一个数A，所得的数列仍为G.P,公比为原来的A倍-1…

1,0,1,0…

提出问题：(1)公比q能否为零?为什么?首项a1呢?

(2)公比q=1时是什么数列?

(3)q>0是递增数列吗?q<0递减吗?

说明：通过师生问答，充分调动学生学习的主动性及学习热情，活跃课堂气氛，同时培养学生的口头表达能力和临场应变能力。另外通过趣味性的问题，来提高学生的学习兴趣。激发学生发现等比数列的定义及其通项公式的强烈。

让学生回顾等数列通项公式的推导过程，推出等比数列的通项公式。

推导方法：叠乘法。

说明：学生从方法一中学会从特殊到一般的方法，并从次数中去发现规律，以培养学生的观察能力;另外回忆等数列的特点，并类比到等比数列中来，培养学生的类比能力及将新知识转化到旧知识的能力。方法二是让学生掌握“叠乘”的思路。

4.探索等比数列的图像

等数列的图像可以看成是直线上一群孤立的点构成的，观察等比数列的通项公式，你能得出什么结果?它的图像如何?

变式2.等比数列{an}中，a2=2,a9=32,求q.

(学生自己动手解答。)

说明：例1的目的是让学生熟悉公式并应用于实际，例2及变式是让学生明白，公式中a1,q,n,an四个量中，知道任意三个即可求另一个。并从这些题中掌握等比数列运算中常规的消元方法。

6.探索等比数列的性质

类比等数列的性质，猜测等比数列的性质，然后推证。

7.性质应用

例3.在等比数列{an}中，a5=2,a10=10,求a15

(让学生自己动手，寻求多种解题方法。)

方法一：由题意列方程组解得

方法二：利用性质2

方法三：利用性质3

例4(见教材例3)已知数列{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证:{an·bn}是等比数列。

8.小结

为了让学生将获得的知识进一步条理化，系统化，同时培养学生的归纳总结能力及练习后进行再认识的能力，教师学生对本节课进行总结。

1、等比数列的定义，怎样判断一个数列是否是等比数列

2、等比数列的通项公式，每个字母代表的含义。

3、等比数列应注意那些问题(a1≠0,q≠0)

4、等比数列的图像

7、等比数列的概念(注意两点①同号两数才有等比中项

②等比中项有两个，他们互为相反数)

8、本节课采用的主要思想

——类比思想

习题3.41②、④3.8.9.

10.板书设计

等比数列性质

关于例题设计：重知识的应用，具有开放性，为使学生更好的掌握本节课的内容。

设你（can），c是常数，（anbn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。讲的数列为an,则a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，a5=16

3、例题巩固：

s1=a1=1

s2=a1+a2=1+2=3, 所以s2-s1=3-1=2

s3=a1+a2+a3=1+2+4=7 所以s3-s2=7-3=4

1，2，4成等比。

够详细了吧，如果你还不懂那我就没办法了

1,2,4,8,16，的S1，S2-S1，S3-S2为1 2 4 8

拜托S2-S1=2好不好

是1+2-1

你看错了，你算的是A2-A1

等比性质是什么意思？

=S2n[a(n+1)q^n+a(n+2)q^n+...+a2nq^n)

比例的性质是指组成比例的四个数，合分比性质、等比性质以及它们的推广。这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中。其中尤其以等比性质的应用最为广泛。

（1）若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。

（1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的S = a2[q^(n-4)-1]/(q-1)前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做公比。2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

（3）若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab（G≠0）”。

等比数列的公比是什么？

⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零；

等比数列的前n项和 Sn、S2n-Sn、S3n-S2n成等比数列，公比为q^n。

教学过程

证明如下：

（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an×bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

设等比数列{an}的公比为q，

an=a1q^(n-1)

am=a1q^(m-1)

两式相除得an/am=q^(n-m),∴an=amq^(n-m)。

S2n=a1+a2+...+an+a(n+1)+a(n+2)+...+a2n=Sn+(a1q^n+a2q^n+...+anq^n)=Sn+(a1+a2+...+an)q^n=Sn+Snq^n

所以 (S2n-Sn)/Sn=q^n。

同理，S3n=S2n+[a(2n+1)+a(2n+2)+...+a3n]

=S2n+[a(n+1)+a(n+2)+...+a2n]q^n

=S2n+[S2n-Sn}q^n 。

所以 (S3n-S2n)/(S2n-Sn)=q^n 。

所以 (S2n-Sn)/Sn=(S3n-S2n)/(S2n-Sn)。

即(S2n-Sn)^2=Sn(S3n-S2n) 。

扩展资料：

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq；

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；

④ 若G是a、b的等比中项，则G2=ab（G ≠ 0）；