高中数学裂项相消法的八大类型，你知道吗？

裂项相消法的八大类型

裂项相消法的八大类型：等型、无理行、指数型、对数型。三角函数型、阶乘和组合数公式型、抽象型、混合型。

高中数学裂项相消法的八大类型，你知道吗？

高中数学裂项相消法的八大类型，你知道吗？

高中数学裂项相消法的八大类型，你知道吗？

裂项法，这是分解与组合友局思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。通常用于代数，分数，有时候也用于整数。

裂项相消的公碧告激式

1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

1/(√daoa+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

n·n!=(n+1)!-n!

裂项法求和

（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n

（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

数列求和的常用方法

1、分组法求数列的和：如an=2n+3n

2、错位相减法求和：如an=n·2^n

3、裂项法求和：如悔袜an=1/n(n+1)

4、倒序相加法求和：如an= n

5、求数列的、最小项的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

6、在等数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取值.

(2)当 a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.

7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。

如何裂项相消法？

分数裂项公式：

解：an=1/[N(N+1)]=（1/N）- [1/(N+1)]（裂项）

Sn=1/(1×2) +1/(2×3) +1/(3×4) +1/(4×5)+....+1/N(N+1)

=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/N）- [1/(N+1)]（裂项求和）

= 1-1/(N+1)

= N/(N+1)

数列的裂项相消法三大特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” 。

（3）分母上几个因数间的是一个定值裂型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”。

数列求和裂项相消法

裂项相消法是数列求和中第二大求和方法，其使用频率仅此于错位相减法。

裂项相消法是高中数列求和的方法之一，它是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项相消法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

数列求和的方法引入裂项相消法，首先讲解了裂项相消法求和的核心内容：如何裂项与消项，通过讲解例题使学生理解和掌握，然后通过变式训练，加强巩固，并且重点说明消项的方法和技巧，归纳总结常见的裂项相消法求和的公式，让学生更系统地掌握裂项的方法。

总结裂项相消类型：

裂项相消法的概念不难，过程也简单，其难点主要在于如何判断来使用裂项相消法。裂项相消法的八大类型：等型、无理行、指数型、对数型。三角函数型、阶乘和组合数公式型、抽象型、混合型。

裂项相消法是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。比如1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]、1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]。

此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。余下的项具有如下的特点，余下的项前后的位置前后是对称的。余下的项前后的正负性是相反。

所谓裂项相消，“裂项”很关键，但是重点还是在“相消”上！这一点大家需特别注意！

数列裂项相消法的八大类型

裂项相消法的八大类型：等型、无理行、指数型、对数型。三角函数型、阶乘和组合数公式型、抽象型、混合型。

裂项相消法是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。比如1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]、1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]。

此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。余下的项具有如下的特点，余下的项前后的位置前后是对称的。余下的项前后的正负性是相反

裂项相消法是分解与组合思想在序列求和中的具体应用。它是将序列中的每一个项（总项）进行分解，然后重新组合，使之剔除一些项，最终达到求和的目的。一般项分解的倍数关系（分项）。通常用于代数、分数，有时也用于整数。

这种变形的特点是，原数列的每一项被拆成两项后，中间的大部分项目会相互抵消。只剩下几项了。

裂项相消法

1裂项法求和编辑这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.。（1）1/[n(n+1)]=（1/n）-

[1/(n+1)]（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)（5）

n·n!=(n+1)!-n!（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n

基本裂项式

+k)]

分母三个数相乘的裂项公式

2示例编辑【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1)

的前n项和.解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）-

[1/(n+1)]（裂项）则

Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）-

[1/(n+1)]（裂项求和）=

1-1/(n+1)=

n/(n+1)【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1)

的前n项和.解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）则

Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）=

[n(n+1)(n+2)]/3【例3】1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(×94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。原式=1/3

[（1-1/4）+（1/4-1/7）+（1/7-1/10）+……+（1/-1/94）]=1/3(1-1/94)=31/943小结编辑此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意：

余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）附：数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=n·2^n3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和：如an=

n5、求数列的、最小项的方法：①

an+1-an=……

如an=

-2n2+29n-3②

(an>0)

如an=③

an=f(n)

研究函数f(n)的增减性

如an=

an^2+bn+c(a≠0)6、在等数列

中,有关Sn

的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当

a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取值.(2)当

a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。[1]