伽玛函数：无处不在的数学神器

伽玛函数是一个在数学中无处不在的函数，它将实数或复数映射到复杂的平面。它具有广泛的应用，从概率和统计学到量子力学和数论。

伽玛函数：无处不在的数学神器

伽玛函数：无处不在的数学神器

定义

伽玛函数 Γ(z) 定义为傅立叶积分：

``` Γ(z) = ∫0^∞ t^(z-1) e^(-t) dt ```

对于复数 z，它可以解析延拓到整个复平面，除了非正整数点，这些点为极点。

性质

延拓和极点：伽玛函数在复平面上解析延拓，除了非正整数极点。 递归公式：Γ(z+1) = zΓ(z) 欧拉乘积：Γ(z) = Π(n=1)^∞ (1 + 1/n)^(-z) / (1 - 1/n)^z 斯特林公式：对于复数 z，当 |z| → ∞ 时，Γ(z) ≈ √(2πz) (z/e)^z

应用

伽玛函数在许多领域都有广泛的应用，包括：

概率和统计学：Γ(z)用于定义伽玛分布，用于建模非负随机变量。 量子力学：Γ(z)用于计算量子态的归一化常数。 数论：Γ(z)用于研究黎曼 zeta 函数和素数分布。 特种函数：Γ(z)与许多其他特种函数，如贝塔函数和超几何函数，有关系。

历史

伽玛函数首次由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在 18 世纪引入。它因其计算阶乘的广义形式 Γ(n+1) = n! 而得名。

结论