三角形海伦公式 三角形海伦公式是什么

利用海伦公式计算a=4 b=5 c=6的三角形面积

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

用海伦公式：

三角形海伦公式 三角形海伦公式是什么

三角形海伦公式 三角形海伦公式是什么

海伦公式，又译希伦公式、海龙公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据 Morris Kline 在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。

设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：s=根号下(p(p-a)(p-b)(p-c))

而公式里的p：(a+b+c)/2

三角形周长L=a+b+c=15

海伦公式：

三角形面积S=1/4×[√L×(L-2a)(L-2b)(L-2c)]

S=1/4×[√（15×7×5×3）]

S=(15√7)/4S△=√{1/4[c

p=(a+b+c)/2=15/2

所以S=√[(15/2)(15/2-4)(15/2-5)(15/2-6)]

=√(1575/16)

设(a+b+c)/2=d

s=根号下（d(d-aV=S(底面积)·H(高)÷3)(d-b)(d-c)）

=(15根号7)/4

海伦公式

=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2

(3).已知三角形两边a,bC),这两边夹角C，则S＝1/2 absinC

三角形的体积公式是什么

1 首先提问者的提问可能出问题了。三角形只有面积没有体积。如果室温三角形的面积公式为

S=1/2×ah

公式说明：a是三角形的底，h是底所对应的高也是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积。.

2 如果是求体积的话，提问者可能是在问三棱锥，由四个三角形组成。固定底面时有一个顶点，不固定底面时有四个顶点。

体积公式为：

h为底高(法线长度)，A为底面面积，V为体积，L为斜高，C为棱锥底面周长有:

三棱锥棱锥的侧面展开图是由4个三角形组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积，则 :(其中Si,i= 1,2为第i个侧面的面积)

三棱锥=p(p-a)(p-b)(p-c)体积公式证明一个三棱柱中的三个等体p = (a+b+c)/2积的三棱锥:h为底高(法线长度)，A为底面面积，V为体积，L为斜高，C为棱锥底面周长

海伦公式的推导

直角三角形中两直角边的平方等于斜边的平方

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王

希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris

Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/周长公式2

——————————————————————————————————————————————

注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以

和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

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证明（1）：

cosC

=(a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2absinC

=1/2ab√(1-cos^d12

=1/2ab√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2b^2]

=1/4√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2,

p-a=(-a+b+c)/2,

p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国的数学家九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是，在方程px

q=1/4[c

2a

2-(c%|

2+a

2-b

2]

当P＝1时，△

2＝q,

2a

2-(c

2+a

2-b

2]}

因式分解得

1/16[(c+a)

2-b

2]

=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

S=c/2根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^

.其中c>b>a.

根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：

已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积

S圆内接四边形=

根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)

（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）

3

海伦公式

开放分类：

数学、定理、公式、秦九韶、海伦公式

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王

希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris

Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2

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注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以

和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

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证明（1）：

cosC

=(a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2absinC

=1/2ab√(1-cos^2

=1/2ab√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2b^2]

=1/4√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2,

p-a=(-a+b+c)/2,

p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国的数学家九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是，在方程px

q=1/4[c

2a

2-(c%|

2+a

2-b

2]

当P＝1时，△

2＝q,

2a

2-(c

2+a

2-b

2]}

因式分解得

1/16[(c+a)

2-b

2]

=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

S=c/2根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^

.其中c>b>a.

根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：

已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积

S圆内接四边形=

根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)

（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）

3

这个在初中七年级就学过了啊！你画画图嘛，你是不是太懒了？

证明：海伦公式：若ΔABC的三边长为a、b、c，则

证明：设边c上的高为 h,则有

√(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c

√(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2)

两边平方，化简得：

2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2

两边平方，化简得：

h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))

SΔABC=ch/2

=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2

仔细化简一下，得：

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

用三角函数证明！

证明：

SΔABC=absinC/2

=ab√(1-(cosC)^2)/2————（1）

∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

∴代入（1）式，（仔细）化简得：

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

肯定是楼主太懒了，懒得化简、变形！

怎样用海伦公式计算三角形的面积？

根据海伦公式求：

已知三角形的三边分别是a、b、c，求面积。

先算出周长的一半p=1/2(a+b+c)，然后根据公式

，代由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出。入数值即可。

扩展资料：

古代的数学家秦九韶的三斜求积术

它和海伦公式是等价的，证明过程如下：S正三棱锥=1/2CL+S底

海伦公式特点是形式漂亮，便于记忆代入解得s=8√。

宋代的数学家秦九韶在1247年提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与古希腊数学家的海伦公式等价，它填补了数学史中的一个空白，从中可以看出古代已经具有很高的数学水平， 是我国数学史上的一颗明珠。

参考资料：

三角形的中线和面积关系是怎样的？

2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以

三角形的中线和面积关系如下：

S△=√{1/4[c

三角形的中线和面积之间有一定的关系。具体来说，三角形的中线是连接一个顶点与所对边中点的线段，三角形有三条中线，分别连接三个顶点与所对边中点。对于任意一个三角形，它的三条中线所交于一个点，称为重心。

重心将每条中线分成两段，其中一段与相邻顶点的距离是另一段的两倍。中线长度的比例关系是1:2。关于三角形中线和面积的关系，有一个重要公式可以描述：三角形的面积等于任意两条中线长度的一半乘以它们夹角的正弦值。这个公式被称为三角形的海伦公式。

具体公式为：S= (1/2）（m1m2 sin（angle）/2，其中S表示三角形的面积，m1和m2分别表示两条中线的长度，angle表示两条中线夹角的大小。

通过这个公式，可以看出，当两条中线的长度增加时，三角形的面积也会增加。按C语言的运算规则，先算括号，a+b+c，结果为float型此外，夹角的大小也会影响面积的大小，夹角越大，面积越大。三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段，三角形共有三条中线。

三角形中线的特点如下：

1、三角形的三条中线共点，这个点被称为三角形的重心。

3、三角形的三条中线相互平分，即每条中线的两个端点到对边的两个端点距离相等。

4、三角形的一个顶点到它对边中点的连线（即中线）与对边的夹角是直角。

5、三角形的一个顶点到另外两个顶点的中线长度相等（中位线）。

6、三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段，三角形共有三条中线。

三角形求底边的公式是什么？

SΔABC=√由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出。（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(这是海伦公式的变形，“负号“－”从a左则向右经过a、b、c”，负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期！我觉得这么记更简单，还设个什么l=(a+b=c)/2啊，多此一举！)

底=三角形面积乘以2除以高，即a=2S/h

三角形面积公式：面积=底×高÷2，S=ah/2(其中，a是三角形的底，h是底所对应的高）

所以：底=三角形面积乘2除以高，即a=2S/h

扩展资料

若一个三角三角形重要的四线：形的三边分别为a、b、c，则C=a+b+c

1、 S＝ah/2（面积=底×高÷2。其中，a是三角形的底，h是底所对应的高）注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求线段长度的基础。

2、 S=absinC/2（其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c。参见三角函数）

3、S=hl (l为高所在边中位线）

参考资料：

三角形面积公式：

所以：底=三角形面积乘2除以高，即a=2S/h

三角形周长：若一个三角形的三边分别为a、b、c，则 周长C=a+b+c

中线

连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线（median）。

高从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（altitude）。

角平分线

三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（bisector of angle）。

中位线

三角形的三边中任意两边中点的连线叫中位线。它平行于第三边且等于第三边的一半。

底=三角形面积乘以2除以高，即a=2S/h

三角形面积公式：面积=底×高÷2，S=ah/2(其中，a是三角形的底，h是底所对应的高）

所以：底=三角形面积乘2除以高，即a=2S/h

扩展资料

若一个三角形的三边分别为a、b、c，则C=a+b+c

1、 S＝ah/2（面积=底×高÷2。其中，a是三角形的底，h是底所对应的高）注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求线段长度的基础。

2、 S=absinC/2（其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c。参见三角函数）

3、S=hl (l为高所在边中位线）

全部是:底x高÷2=面积,面积x2÷底=高，底=面积x2÷高。(比事太父杂回答的人)。

三角形的面积等于面积乘二除以底

三斜求积术推导海伦公式的具体步骤，初中数学知识

宋代的数学家叶汇淳也提出了"三斜求积术"，它与海伦公式基本一样。

海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。

周长公式

设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

而公式里的s：

s=frac{a+b+c}{2}

证明

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为

cos(C) = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

从而有

sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}

因此三角形的面积S为

S=(15/4)√7 = frac{1}{2}ab sin(C)

= frac{1}{4}sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}

= sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

的等号部分可用因式分解予以导出。

△＝根号下s(s-a)(s-b)(s-c) 其中s=1/2(a+b+c)

这个公式叫海伦公式〔Heron's Formula〕。

我国大数学家秦九韶〔1022-1261〕在他写的《数书九章》〔成书于1247〕的第五卷《田域类》第二题「三斜求积」中所用的公式本质上与海伦公式是相同的，其意义就是：设三角形的三边分别为a，b，c，面积为Δ，则

Δ=根号下1/4｛a2b2-｛（a2+b2-c2)/2]2}

这个公式与海伦公式是等价的。

如何推导海伦公式

2][b62-(c-a)

证明：如上图

证明（2）：

根据勾股定理，得：

此时化简得出海伦公式，证毕。

扩展资料：

公由此可得：式表述

海伦公式：

设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

而公式里的p为半周长（周长的一半）：

参考资料来源：