微积分四大基本定理_小学生能看懂微积分吗

微积分定理？

牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

微积分四大基本定理_小学生能看懂微积分吗

微积分四大基本定理_小学生能看懂微积分吗

牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式， 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。 因为二者早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

微积分基本定理，也称为牛顿-莱不尼兹公式。它深刻揭示了函数的导数与积分之间的关系。所以称为微积分基本定理。

微积分基本定理描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。定理的部分，称为微积分基本定理，表明不定积分是微分的逆运算。这一部分定理的重要之处在于它保证了某连续函数的原函数的存在性。

微积分可以归分为哪四个类？

1.运动中速度与距离的互求问题。已知物体移动的距离表为以时间为变量的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度。

2.求曲线的切线问题。这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。

3.求长度、面积、体积、与重心问题等。

4.求值和小值问题。

　　微积分是研究微分学和积分学的统称，英文名称是Calculus，意为计算。这是因为早期微积分主要用与天文、力学、几何学中的计算的问题。后来人们也将微积分称为分析学，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。极限是整个微积分学的基础。微分学包括求导和微分的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学包括不定积分和定积分的概念和应用，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

从17世纪开始，随着的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。

（1）运动中速度与距离的互求问题

已知物体移动的距离表为以时间为变量的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式，求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是，而是无意义的。但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。

（2）求曲线的切线问题

这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。

（3）求长度、面积、体积、与重心问题等

这些问题包括，求曲线的长度（如行星在已知时期移动的距离），曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心，一个相当大的物体（如行星）作用于另一物体上的引力。实际上，关于计算椭圆的长度的问题，就难住数学家们，以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了，直到下一世纪才得到新的结果。又如求面积问题，早古希腊时期人们就用穷竭法求出了一些面积和体积，如求抛物线在区间上与轴和直线所围成的面积，他们就采用了穷竭法。当分割的份数越来越多时，所求得的结果就越来越接近所求的面积的值。但是，应用穷竭法，必须添上许多技艺，并且缺乏一般性，常常得不到数字解。当阿基米德的工作在欧洲闻名时，求长度、面积、体积和重心的兴趣复活了。穷竭法先是逐渐地被修改，后来由于微积分的创立而根本地修改了。

（4）求值和小值问题（二次函数，属于微积分的一类）

例如炮弹在炮筒里射出，它运行的水平距离，即射程，依赖于炮筒对地面的倾斜角，即发射角。一个“实际”的问题是：求能够射出射程的发射角。十七世纪初期，Galileo断定（在真空中）发射角是时达到射程；他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的高度。研究行星的运动也涉及到值和小值的问题。

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互理关系。

微积分思想在古代早有萌芽，公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限

微积分四大基本定理？

1、牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本公式。

2、格林公式，把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分，它是平面向量场散度的二重积分。

3、高斯公式，把曲面积分化为区域内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分。

4、斯托克斯公式，与旋度有关。

积分基本公式

1、∫0dx=c

2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c

3、∫1/xdx=ln|x|+c

4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5、∫e^xdx=e^x+c

6、∫sinxdx=-cosx+c

7、∫cosxdx=sinx+c

8、∫1/(cosx)^2dx=tanx

9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

1.牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿－莱布尼茨公式，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。牛顿－莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间［a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。

2.格林公式。

格林公式，把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分，它是平面向量场散度的二二重积分。格林公式是一个数学公式，它描述了平面上沿闭曲线L对坐标的曲线积分与曲线L所围成闭区域D上的二重积分之间的密切关系。 一般用于二元函数的全微分求积。

3.高斯公式。

把曲面积分化为区域内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分。高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名理）。

4.斯托克斯公式。

与旋度有关，斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系。

微积分根本的思想方法？

微，就是仔而细之，细而微之。微分是从曲线的切线出发，对于任意的函数曲线，在曲线上人选一点P,过该点P画任意一条割线，将割线的斜率的表达式写出，然后令割线向切线过渡，变成在P点的切线.利用计算极限的方法，就到了在x位置上的曲线的斜率表达式。积，就是累而积之，积而广之。积分是从一条曲线出发，将它跟x轴之间的面积，划分成无数个小长方形，写出长方形面积的计算式，利用极限计算出曲线下无限多个长方形的面积之和，这样得出了一个计算曲线下面积的一般公式。

1、微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

2、微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。“变”这个字是微积分的奥义，要从哲学的角度来理解数学，而不是单纯的会计算。所有的数理能力都要上升为自身的哲学，这样才能作到天人合一。

3、微积分是与应用联系着发展起来的，初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

微积分的根本思想是以直为曲，也即用直线来逼近曲线，在古代，刘徽，祖冲之计算圆周率用的割圆术就是典型的微积分方法，三国时期的刘徽在他的割圆术中提到的“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”

魏晋南北朝时期的祖冲之说的更简单：以曲为直逼近。

在古代巴比伦，希腊都用这种方法来处理曲线计算问题，有史可查的记录是公元前三世纪，古希腊的阿基米德计算抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积时，就用了直线逼近。

1.对幂指函数的处理：

　　改为e为幂的函数；

　　f（x）前加ln，g（x）=lnf（x）再求导，g（x）的单调性同f（x）；

2.等价无穷小替换：

　　可以广义化

3.几种未定式：

　　基本未定式：0/0，∞/∞；0×∞（可以用除法化为基本未定式）；∞-∞（强行制造分母：提取公因式，倒带换）；∞0，00，1∞化为幂指函数，1的∞次方可化为elim(u-1)v

4.泰勒多项式用于求极限

5.f(a)=0的点的导数可以拆开算（相当巧妙）

6.求斜渐近线：1）.limf(x)/x=a 2).lim(f(x)-ax)=b

7.∫1/tanx dx
=∫cosx/sinx dx
=∫1/sinx dsinx
=ln|sinx|+C

7.求区间恒等式可以考虑化为F(x)=0,再用零点定理

8.定积分定义可以用来求级数

9.求定积分注意用周期性和奇偶性

10.区间再现公式

11.华里士公式

12.若积分区间对称可以考虑构造奇偶性

13.看到多阶导数要想到泰勒公式

14.f有二阶连续偏导数，求导次序可交换f21‘’=f12‘’

15.二重积分必须保证下限小上限大

16.取整函数时常可以用夹逼准则

17.

微积分可以归分为哪四个类？

1.运动中速度与距离的互求问题。已知物体移动的距离表为以时间为变量的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度。

2.求曲线的切线问题。这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。

3.求长度、面积、体积、与重心问题等。

4.求值和小值问题。

　　微积分是研究微分学和积分学的统称，英文名称是Calculus，意为计算。这是因为早期微积分主要用与天文、力学、几何学中的计算的问题。后来人们也将微积分称为分析学，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。极限是整个微积分学的基础。微分学包括求导和微分的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学包括不定积分和定积分的概念和应用，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

从17世纪开始，随着的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。

（1）运动中速度与距离的互求问题

已知物体移动的距离表为以时间为变量的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式，求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是，而是无意义的。但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。

（2）求曲线的切线问题

这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。

（3）求长度、面积、体积、与重心问题等

这些问题包括，求曲线的长度（如行星在已知时期移动的距离），曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心，一个相当大的物体（如行星）作用于另一物体上的引力。实际上，关于计算椭圆的长度的问题，就难住数学家们，以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了，直到下一世纪才得到新的结果。又如求面积问题，早古希腊时期人们就用穷竭法求出了一些面积和体积，如求抛物线在区间上与轴和直线所围成的面积，他们就采用了穷竭法。当分割的份数越来越多时，所求得的结果就越来越接近所求的面积的值。但是，应用穷竭法，必须添上许多技艺，并且缺乏一般性，常常得不到数字解。当阿基米德的工作在欧洲闻名时，求长度、面积、体积和重心的兴趣复活了。穷竭法先是逐渐地被修改，后来由于微积分的创立而根本地修改了。

（4）求值和小值问题（二次函数，属于微积分的一类）

例如炮弹在炮筒里射出，它运行的水平距离，即射程，依赖于炮筒对地面的倾斜角，即发射角。一个“实际”的问题是：求能够射出射程的发射角。十七世纪初期，Galileo断定（在真空中）发射角是时达到射程；他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的高度。研究行星的运动也涉及到值和小值的问题。

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互理关系。

微积分思想在古代早有萌芽，公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限

微积分根本的思想方法？

微，就是仔而细之，细而微之。微分是从曲线的切线出发，对于任意的函数曲线，在曲线上人选一点P,过该点P画任意一条割线，将割线的斜率的表达式写出，然后令割线向切线过渡，变成在P点的切线.利用计算极限的方法，就到了在x位置上的曲线的斜率表达式。积，就是累而积之，积而广之。积分是从一条曲线出发，将它跟x轴之间的面积，划分成无数个小长方形，写出长方形面积的计算式，利用极限计算出曲线下无限多个长方形的面积之和，这样得出了一个计算曲线下面积的一般公式。

1、微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

2、微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。“变”这个字是微积分的奥义，要从哲学的角度来理解数学，而不是单纯的会计算。所有的数理能力都要上升为自身的哲学，这样才能作到天人合一。

3、微积分是与应用联系着发展起来的，初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

微积分的根本思想是以直为曲，也即用直线来逼近曲线，在古代，刘徽，祖冲之计算圆周率用的割圆术就是典型的微积分方法，三国时期的刘徽在他的割圆术中提到的“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”

魏晋南北朝时期的祖冲之说的更简单：以曲为直逼近。

在古代巴比伦，希腊都用这种方法来处理曲线计算问题，有史可查的记录是公元前三世纪，古希腊的阿基米德计算抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积时，就用了直线逼近。

1.对幂指函数的处理：

　　改为e为幂的函数；

　　f（x）前加ln，g（x）=lnf（x）再求导，g（x）的单调性同f（x）；

2.等价无穷小替换：

　　可以广义化

3.几种未定式：

　　基本未定式：0/0，∞/∞；0×∞（可以用除法化为基本未定式）；∞-∞（强行制造分母：提取公因式，倒带换）；∞0，00，1∞化为幂指函数，1的∞次方可化为elim(u-1)v

4.泰勒多项式用于求极限

5.f(a)=0的点的导数可以拆开算（相当巧妙）

6.求斜渐近线：1）.limf(x)/x=a 2).lim(f(x)-ax)=b

7.∫1/tanx dx
=∫cosx/sinx dx
=∫1/sinx dsinx
=ln|sinx|+C

7.求区间恒等式可以考虑化为F(x)=0,再用零点定理

8.定积分定义可以用来求级数

9.求定积分注意用周期性和奇偶性

10.区间再现公式

11.华里士公式

12.若积分区间对称可以考虑构造奇偶性

13.看到多阶导数要想到泰勒公式

14.f有二阶连续偏导数，求导次序可交换f21‘’=f12‘’

15.二重积分必须保证下限小上限大

16.取整函数时常可以用夹逼准则

17.

微积分可以归分为哪四个类？

1.运动中速度与距离的互求问题。已知物体移动的距离表为以时间为变量的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度。

2.求曲线的切线问题。这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。

3.求长度、面积、体积、与重心问题等。

4.求值和小值问题。

　　微积分是研究微分学和积分学的统称，英文名称是Calculus，意为计算。这是因为早期微积分主要用与天文、力学、几何学中的计算的问题。后来人们也将微积分称为分析学，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。极限是整个微积分学的基础。微分学包括求导和微分的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学包括不定积分和定积分的概念和应用，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

从17世纪开始，随着的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。

（1）运动中速度与距离的互求问题

已知物体移动的距离表为以时间为变量的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式，求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是，而是无意义的。但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。

（2）求曲线的切线问题

这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。

（3）求长度、面积、体积、与重心问题等

这些问题包括，求曲线的长度（如行星在已知时期移动的距离），曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心，一个相当大的物体（如行星）作用于另一物体上的引力。实际上，关于计算椭圆的长度的问题，就难住数学家们，以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了，直到下一世纪才得到新的结果。又如求面积问题，早古希腊时期人们就用穷竭法求出了一些面积和体积，如求抛物线在区间上与轴和直线所围成的面积，他们就采用了穷竭法。当分割的份数越来越多时，所求得的结果就越来越接近所求的面积的值。但是，应用穷竭法，必须添上许多技艺，并且缺乏一般性，常常得不到数字解。当阿基米德的工作在欧洲闻名时，求长度、面积、体积和重心的兴趣复活了。穷竭法先是逐渐地被修改，后来由于微积分的创立而根本地修改了。

（4）求值和小值问题（二次函数，属于微积分的一类）

例如炮弹在炮筒里射出，它运行的水平距离，即射程，依赖于炮筒对地面的倾斜角，即发射角。一个“实际”的问题是：求能够射出射程的发射角。十七世纪初期，Galileo断定（在真空中）发射角是时达到射程；他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的高度。研究行星的运动也涉及到值和小值的问题。

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互理关系。

微积分思想在古代早有萌芽，公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限