b样条曲线和bezier曲线区别 十大最美数学曲线

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C A;

A.DoModal();

//是你编程的Schoenberg[1,2]于1946 年提出B 样条曲线方法。头文件名

计算机图形学复习

你可能在很多地方听说过 贝塞尔曲线 ，但是贝塞尔曲线到底是什么，它有什么特性能让它有这么高的知名度，它到底有什么用呢？

章

1. 计算机图形：用数学方法描述，通过计算机生成、处理、存储和显示的对象。

2. 图形和图像的主要区别是表示方法不同：图形是用矢量表示；图像是用点阵表示的。图形和图像也可以通过光栅显示器（或经过识别处理）可相互转化。

7. 计算机图形学的基本任务：一是如何利用计算机硬件来实现图形处理功能；二是如何利用好的图形软件；三是如何利用数学方法及算法解决实际应用中的图行处理问题。

8. 计算机图形系统是由硬件系统和软件系统组成的。

9. 计算机图形系统包括处理、存储、交互、输入和输出五种基本功能。

10. 键盘和鼠标是最常用的图形输入设备。鼠标根据测量位移部件的不同，分为光电式、光机式和机械式3种。

11. 数字化仪分为电子式、式、磁伸缩式、电磁感应式等。小型的数字化仪也称为图形输入板。

12. 触摸屏是一种 定位设备，它是一种对于触摸能产生反应的屏幕。

13. 扫描仪由3部分组成：扫描头、控制电路和移动扫描机构。扫描头由光源发射和光鲜接收组成。按移动机构的不同，扫描仪可分为平板式和滚筒式2种。

14. 显示器是计算机的标准输出设备。彩色CRT的显示技术有2种：电子穿透法和荫罩法。

15. 随机扫描是指电子束的定位及偏转具有随意性，电子束根据需要可以在荧光屏任意方向上连续扫描，没有固定扫描线和扫描顺序限制。它具有局部修改性和动态性能。

16. 光栅扫描显示器是画点设备。

17. 点距是指相邻像素点间的距离，与分辨指标相关。

18. 等离子显示器一般有三层玻璃板组成，通常称为等离子显示器的三层结构。

19. 用以输出图形的计算机外部设备称为硬拷贝设备。

20. 打印机是廉价的硬拷贝设备，从机械动作上常为撞击式和非撞击式2种。

21. 常用的喷墨头有：压电式、气泡式、静电式、固体式。

22. 绘图仪分为静电绘图仪和笔式绘图仪。

23. 图形软件的分层。由下到上分别是：①图形设备指令、命令集、计算机作系统 ②零级图形软件 ③一级图形软件 ④二级图形软件 ⑤图形软件。

24. 零级图形软件是面向系统的、层的软件，主要解决图形设备与主机的通信与接口问题，又称设备驱动程序。

25. 一级图形软件即面向系统又面向用户，又称基本子系统。

26. 图形应用软件是系统的核心部分。

27. 从物理学角度，颜色以主波长、色纯度和辉度来描述；从视觉角度来看，颜色以色彩、饱和度和亮度来描述。

28. 用适当比列的3种颜色混合，可以获得白色，而且这3种颜色中的任意2种的组合都不能生成第三种颜色，称为三原色理论。

29. RGB模型的匹配表达式是：c=rR+gG+bB。

30. 常用颜色模型

颜色模型名称 使用范围

RGB 图形显示设备（彩色CRT和光栅显示器）

CMY 图形打印、绘制设备

HSV 对应画家本色原理、直观的颜色描述

HSL Unigraphics(简称UG)起源于美国麦道飞机公司，当时为了设计和制造F15而形成了UG产品。由于它在计算机辅助设计、计算机辅助制造、计算机辅助工程、以及产品数据管理上所具有的卓越的性能，加上它提供CAD/CAM/CAE/PDM集成解决方案，目前该软件在航天航空、汽车制造、模具加工、通用机械等领域具有很高得知名度，并受到广泛的应用。同时，UG还提供编程工具UG/Open API用来进行二次开发。基于颜色参数的模型

用基色青、品红、黄定义的CMY颜色模型用来描述硬拷贝设备的输出颜色。它从白光中滤去某种颜色，故称为减色性原色系统。

第二章

31. 直线生成的3个常用算法：数值微分法（DDA）、中点划线法和Bresenham算法。

32. DDA算法的C语言实现：

DDA算法生成直线，起点（x0,y0）,终点（x1,y1）.

Void CMy View ::OnDdaline()

{CDC pDC=GetDC(); //获得设备指针

int x0=100,y0=100,x1=300,y1=200,c=RGB(,0,0);//定义直线两端点和直线颜色

int x,y,i;

float dx,dy,k;

dx=(float)(x1-x0);

dy=(float)(y1-y0);

k=dy/dx;

x=x0;

y=y0;

if(abs(k)<1)

{ for(;x<=x1;x++)

{pDC—>SetPixel(x,int(y+0.5),c);

y=y+k;}

}if(abs(k)>=1)

{pDC—>SetPixel(int(x+0.5),y,c);

x=x+1/k;}

}ReleaseDC(pDC); //释放设备指针

}33. 任何影响图元显示方法的参数称为属性参数。图元的基本表现是线段，其基本属性包括线型、线宽和色彩。

34. 最常见的线型包括实线、虚线、细线和点划线等，通常默认的线型是实线。

35. 线宽控制的实线方法：垂直线刷子、水平线刷子、方形线刷子。生成具有宽度的线条还可以采用区域填充算法。

36. 用离散量表示连续量时引起的失真现象称为走样。为了提高图形显示质量，减少或消除走样现象的技术称为反走样。

39. 字符的图形表示可以分为点阵式和矢量式两种形式。

41. 在扫描线填充算法中，对水平边忽略而不予处理的原因是实际处理时不计其交点。

42. 关于直线生成算法的叙述中，正确的是：Bresenham算法是对中点画线算法的改进。

44. 多边形填充时，下列论述错误的是：在判断点是否在多边形内时，一般通过在多变形外找一点，然后根据该线段与多边形的交点数目为偶数即可认为在多边形内部，若为奇数则在多边形外部，且不考虑任何特殊情况。

第三章

1. Cohen-Sutherland算法，也称编码裁剪法。其基本思想是：对于每条待裁剪的线段P1P2分三种情况处理：①若P1P2完全在窗口内，则显示该线段，简称“取”之；②若P1P2完全在窗口外，则丢弃该线段，简称“舍”之；③若线段既不满足“取”的条件也不满足“舍”的条件，则求线段与窗口边界的交点，在交点处把线段分为两段，其中一段 完全在窗口外，可舍弃之，然后对另一段重复上述处理。

2. Sutherland-Hodgman算法，又称逐边裁剪算法。其基本思想是用窗口的四条边所在的直线依次来裁剪多边形。多边形的每条边与裁剪线的位置关系有4种情况（设当前处理的多边形的边为SP）：a>端点S在外侧，P在内侧，则从外到内输出P和I；b>端点S和P都在内侧，则从内到内输出P；c>端点S在内侧，而P在外侧，则从内到外输出I；d>端点S和P都在外侧，无输出。

3. 按裁剪精度的不同，字符裁剪可分为三种情况：字符串裁剪、字符裁剪和笔画裁剪。

4. 在线段AB的编码裁剪算法中，如A、B两点的码逻辑或运算全为0，则该线段位于窗口内；如AB两点的码逻辑与运算结果不为0，则该线段在窗口外。

5. n边多边形关于矩形窗口进行裁剪，结果多边形最多有2n个顶点，最少有n个顶点。

7. 多边形裁剪可以看做是线段裁剪的组合。（X）

8. 对于线段来说，中点分割算法要比其他线段裁剪算法的裁剪速度快。（X）

9. 多边形的Weiler-Atherton裁剪算法可以实现对任意多边形的裁剪。（√）

第四章

1. 几何变换是指改变几何形状和位置，非几何变换是指改变图形的颜色、线型等属性。变换方法有对象变换（坐标系不动）和坐标变换（坐标系变化）两种。

2. 坐标系可以分为以下几种：世界坐标系（是对计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，是其他坐标系的参照）、模型坐标系（用于设计物体的局部坐标系）、用户坐标系(为了方便交互绘图作，可以变换角度、方向)、设备坐标系（是绘制或输出图形的设备所用的坐标系，采用左手系统）。

3. 将用户坐标系中需要进行观察和处理的一个坐标区域称为窗口，将窗口映射到显示设备上的坐标区域称为视区。从窗口到视区的变换，称为规格化变换。（eg.4-1）

4. 所谓体素，是指可以用有限个尺寸参数定位和定形的体，如长方体、圆锥体。

5. 所谓齐次坐标表示，就是用n+1维向量表示n维的向量。

6. 二维点（x,y）的齐次坐标可以表示为：（hx hy h）,其中h≠0。当h=1时称为规范化的齐次坐标，它能保证点集表示的性。

7. 旋转变换公式的推导、对称变换

第五章

1. 交互绘图技术是一种处理用户输入图形数据的技术，是设计交互绘图系统的基础。常见的交互绘图技术有：定位技术、橡皮筋技术、拖曳技术、定值技术、拾取技术、网格与吸附技术。

2. 常用的橡皮筋技术有：橡皮筋直线、橡皮筋矩形、橡皮筋圆。

3. 拖曳技术是将形体在空间移动的过程动态地、连续地表示出来，直到用户满意。

4. 定值技术有2种：一种是键入数值，另一种是改变电位计阻值产生要求的数量，可以用模拟的方式实现电位计功能。

5. 拾取一个基本的对象可以通过：指定名称法、特征点发、外界矩阵法、分类法、直接法。

第六章

2. 三维图形变换分类：三维图形变换包括三维几何变换和平面几何变换，三维几何变换包括基本几何变换和复合变换；平面几何变换包括平行投影和投影，平行投影包括正投影和轴测投影，投影包括一点、二点、三点。

3. 投影中心与投影面之间的距离是无限的投影叫做平行投影，它包括正投影和轴测投影。

4. 正投影形成的视图包括：主视图、俯视图和左视图。轴测投影形成的视图为轴测图。

5. 投影也称为中心投影，其投影中心与投影面之间的距离是有限的。其特点是产生近大远小的视觉效果

6. 对于投影，不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点。投影的灭点有无限多个，与坐标轴平行的平行线在投影面上形成的灭点称为主灭点。主灭点最多有3个，其对应的投影分别称为一点、二点、三点。

第七章

1. 型值点是曲面或曲线上的点，而控制点不一定在曲线曲面上，控制点的主要目的是用来控制曲线曲面的形状。

2. 插值和逼近是曲线曲面设计中的两种不同方法。插值—生成的曲线曲面经过每一个型值点，逼近—生成的曲线曲面靠近每一个控制点。

3. 曲线曲面的表示要求：性、统一性、几何不变性、几何直观、易于界定、易于光滑连接。

4. 曲线曲面有参数和非参数表示，但参数表示较好。非参数表示又分为显式和隐式两种。

5. 对于一个平面曲线，显式表示的一般形式是：y=f(x)。一个x与一个y对应，因此显式方程不能表示封闭或多值曲线。例不能用显式方程表示一个圆。

6. 如果一个曲线方程表示为f(x,y)=0的形式，我们称之为隐式表示。其优点是易于判断函数f(x,y)是否大于、小于或等于零，即易于判断是落在所表示曲线上还是在曲线的哪一侧。

8. 在曲线曲面造型中，一般只用到C1（1阶参数连续）、C2（2阶参数连续）、G1（1阶几何连续）、G2（2阶几何连续）。切矢量（一阶导数）反映了曲线对参数t的变化速递，曲率（二阶导数）反映了曲线对参数t变化的加速度。

9. 通常C1连续必能保证G1的连续，但G1的连续并不能保证C1连续。

10. 对于三次Hermite曲线，用于描述曲线的可供选择的条件有：端点坐标、切矢量和曲率。

11. 三次Hermite曲线特点：①可局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束；②基于Hermite样条的变化形式有Cardinal样条和Kochanek-Bars样条；③具有几何不变性。

12. Bezier曲线的性质：①端点性质②端点切矢量③端点的曲率④对称性⑤几何不变性⑥凸包性⑦变缩减性。

13. 一次Bezier曲线是连接起点P0和终点P1的直线段，二次Bezier曲线对应一条起点P0终点在P2处的抛物线。

14. B样条曲线的性质：①局部性②连续性或可微性③几何不变性④严格凸包性⑤近似性⑥变缩减性。

15. NURRS曲线具有以下性质：①局部性②可微性③仿射不变性④严格保凸性⑤一般性⑥变缩减性⑦端点性质。

第八章

1. 要把三维物体的信息显示在二维显示设备中，必须通过投影变换。由于投影变换失去了深度信息，往往会导致二义性，要消除二义性，就必须在绘制时消除实际不可见的线和面，称作消除隐藏线和隐藏面，简称消隐。

2. 面消隐常用算法有：深度缓冲区（Z-buffer）算法和深度排序算法（画家算法）。

计算机造型辅助设计

至此我们了解了贝塞尔曲线的基本知识。

计算机造型辅助设38. 区域连通情况分为四连通区域和八连通区域。四连通区域是指从区域上某一点出发，可通过上下左右4个方向移动，在不越出区域的前提下到达区域内的任意像素；八连通区域是指从区域内某一像素出发，可通过上下左右、左上左下、右上右下8个方向的移动，在不越出区域的前提下到达区域内的任意像素。计

计算机辅助造型技术经过20多年的探索，已发展到特征造型和参数化、变量化设计阶段，为实体模型向产品模型的转化铺平了道路。以下是我整理的计算机造型辅助设计，希望大家认真阅读!

产品外形自由曲面设计的研究是CAS的一个重要内容，采用曲面特征设计(Suce Feature Design)是自由曲面设计的一个重要发展。曲面特征设计包括了3部分，即基本表面、移动特征和串通图形。

草图设计

草图设计技术是随着实体造型技术的发展、为满足工业设计师传统的手绘习惯而发展起来的造型技术。它是用来弥补传统CAD系统与工业设计之间鸿沟的有效手段。该技术的重点在于2个方面：一是设计过程中的人机交互技术，即设计系统如何有效地模拟设计手绘;二是草图重建技术。当前，国内外已建立了一些基于草图的CAD系统。

工作站是一种以个人计算机和分布式网络计算为基础，主要面向专业应用领域，具备强大的数据运算与图形、图像处理能力，为满足工程设计、动画制作、科学研究、软件开发、金融管理、信息服务、模拟仿真等专业领域而设计开发的高性能计算机。

工作站根据软、硬件平台的不同，一般分为基于RISC/UNIX系统的传统工作站和基于Windows、In的PC工作站。UNIX工作站是一种高性能的专业工作站，他具有强大的处理器(以前多采用RISC芯片)和优化的内存、I/O、图形子系统，使用专有的处理器(Alpha、Mips、Power等)、内存以及图形等硬件系统，专有的UNIX作系统，针对特定硬件平台的应用软件，彼此互不兼容。而PC工作站则是基于高性能的X86处理器之上，使用稳定的Windows NT及Windows2000 作系统，采用符合专业图形标准(OpenGL)的图形系统，再加上高性能的存储、I/O、网络等子系统，来满足专业软件运行的要求;以NT为架构的工作站采用的是标准、开放的系统平台，能程度的降低拥有成本;并且由于ISV加强NT及2000平台软件的开发和移植工作，为NT及2000工作站提供大量的专业应用软件。

Pro/Engineer

Pro/Engineer是美国PTC公司研制开发的基于参数化设计的三维设计软件，是一个全方位的3D产品开发环境，集零件设计、装配、模具开发、NC加工、钣金设计、自动测量等功能于一体。应用Pro/Engineer能够方便地完成复杂的三维实体造型。强大的曲面造型功能更能直观地体现产品真实的.设计思想，缩短设计时间，从而快速抢占市场。

Pro/Engineer包括多个应用模块，其中Pro/SURFACE是一个选项模块。它扩展了Pro/ENGINEER的生成、输入和编辑复杂曲面和曲线的功能。Pro/SURFACE提供了一系列必要的工具，使得工程师们在整个工业范围内很容易地生成用于飞机和汽车的气动曲线和曲面，船壳设计以及通常所碰到的复杂设计问题。功能包括：1.生成曲线及曲线种类，(1)在草图中画出示意几何体，(2)通过IGES输入曲线，(3)通过IGES输入定义曲线的点，(4)通过一系列点插值曲线，(5)求二个曲面的交换，(6)不、圆、样条曲线、二次曲线、复合曲线。它们主要用于构造用于曲面实体模型的旋转几何体，定义用于生成任意仲类特征的几何体，定义扫描轨迹线，多点倔值/定义平滑线，增加或改变一个线框模型。2.编辑曲线，(1)在交点处截断曲线，(2)缩短或加长地剪裁曲线，(3)通过移动定义点或改变斜率条件重新定义曲线，(4)改变曲面交线定义曲线，(5)删除或恢复曲线。3.生成曲面及曲面种类，(1)冲压或旋转一条曲线，(2)沿著轨迹线扫描一条曲线，(3)沿著—多轮廓轨迹妇描一条曲线，(4)曲线之间的融合，(5)四条边界曲线之间的融合，(6)通过一个点映射平滑表面，(7)两族曲线之间的事例(“放样”)，(8)二交曲线间的融合，(9)二次曲面间的倒角/圆滑，(10)通过 IGES输入曲面，(11)通过计算值曲面输入，(12)平面、圆柱面、直纹曲面、圆锥面、球面/圆环面、旋转曲面、薄壁柱面、非均匀有理B样条曲面(NURBS)、倒角曲面(角的倒角)、恒定或可变半径的倒角、偏置曲面和由计算值定义的曲面。4.编辑曲面，(1)将曲面缝合在一起形成一个曲面网，(2)在与其它曲面交线处剪裁曲面，(3)改变输入点的文件定义一个曲面，(4)重新定义用于定义曲面的轨迹或曲线，(5)用曲面或曲面网替换实体模型的任一表面，(6)将曲面缝合在一起形成一个封闭的容器从而生成一个实体模型，(7)偏置一个曲面或曲面网，(8)将一个曲面转换成一个薄壁实体。 它们主要用于构造复杂特征和零件，构造表面模型，构造实体模型，在一个实体上生成任意种凹下或凸起物，用一新的曲面或网替换实体模型上的任意表面，给一线框模型复益上表面并变成一个非参数化的实体模型，实体表面可以生成偏置表面。

Unigraphics

UG以Parasolid几何造型核心为基础，采用基于约束的特征建模与传统的几何建模为一体的复合建模技术，其曲面功能包含于Freeform Modeling模块之中，采用了NURBS、B样条、Bezier为数学基础，同时保留解析几何实体造型方法，造型能力较强。其曲面建模完全集成在实体建模之中，并可生成自由形状形体以备实体设计时使用，而许多曲面建模作可直接生成或修改实体模型，曲面壳体、实体与定义它们的几何体完全相关。UG实现了面与体的完美集成，可将无后度曲面壳缝合到实体上。总体上，UG的实体化曲面处理能力是其主要特征和优势。 ;

cam中转化成NURBS是什么意思

6. 计算机辅助设计和计算机辅助制造 是计算机图形学最广泛最活跃的应用领域。

NURBS是非均匀有理B样条曲线（Non-连续性和度数是有关系的。一个度数为3的等式能产生C2连续性曲线。NURBS造型通常不需要这么高度数的曲线。Uniform Rational B-Splines）的缩写，NURBS由Versprille在其博士学位论文中提出，19年，标准化组织（ISO）颁布的工业产品数据交换标准STEP中，把NURBS作为定义工业产品几何形状的数学方法。1992年，标准化组织又将NURBS纳入到规定于设备的交互图形编程接口的标准PHIGS（程序员层次交互图形系统）中，作为PHIGS Plus的扩充部分。Bezier、有理Bezier、均匀B样条和非均匀B样条都被统一到NURBS中。NURBS曲线和NURBS曲面在传统的制图领域是不存在的，是为使用计算机进行3D建模而专门建立的。在3D建模的内部空间用曲线和曲面来表现轮廓和外形。它们是用数学表达式构建的，NURBS数学表达式是一种复合体。在这里，只是简要地介绍一下NURBS的概念，来帮助了解怎样建立NURBS和NURBS物体为什么会有这样的表现。所有的曲线都有Degree(度数），又称阶数或次数。一条曲线的度数在表现所使用的等式里面是最主要的指数。一个直线的等式度数是1，一个二次的等式度数是2.NURBS曲线表现是立方等式，度数是3.可以把度数设得很高，但通常不必要这样做。虽然度数越高曲线越圆滑，但计算时间也越长。一般只要记住Degree(度数）值越高曲线越圆滑就可以了。

曲线也都有Continuity(连续性）。一条连续的曲线是不间断的。连续性有不同的级别，一条曲线有一个角度或尖端，它的连续性是C0。一条曲线如果没有尖端但曲率有改变，连续性是C1。如果一条曲线是连续的，曲率不改变，连续性是C2。

另外一种连续性的表示是几何连续性，G0、G1、G2、G3 可以通过恰当的参数变换得到相应的C0、C1 、C2、C3。

一条曲线可以有较高的连续性，但对于计算机建模来说这三个级别已经够了。通常眼睛不能区别C2连续性和更高的连续性之间的别。

一条不同片断的NURBS曲线可以用不同级别的连续性。具体来说，在同样的位置或非常靠近的地方放置一些可控点，会降低连续性的级别。两个重叠的可控点会使曲率变尖锐。三个重叠的可控点会在曲线里建立一个有角度的尖角。附加一个或两个可控点会在曲线的附近联合它们的影响力。

简单地说，NURBS就是专门做曲面物体的一种造型方法。NURBS造型总是由曲线和曲面来定义的，所以要在NURBS表面里生成一条有棱角的边是很困难的。就是因为这一特点，我们可以用它做出各种复杂的曲面造型和表现特殊的效果，如人的皮肤，面貌或流线型的跑车等。

这里所说的转换成NURBS应该是指将曲面转换成NURBS曲面，即转换成高质量的连续曲面。

图形学3：样条曲线、裁剪算法

另外, 逆向一般和高级曲面 A 面联系在一起, 所以很多做高级曲面的软件都有逆向功能, 象m surf alias 等等, 这些软件的特点是曲面功能都很强大, 但逆向功

一道已知大题是在Bezier曲线、B样条曲线、多边形裁剪中出的画图题，务必记牢公式~~~

表达式:

表达式:

二次B-样条曲线

三次B-样条曲线

起点在ΔV0V1V2底边V0V1的中线，离V1点1/3处P(1) ，终点在ΔV1V2V3底边中线，离V2点1/3处，L1，L2自然连接，且有2阶连续

1.Sutherland-Hodgeman多边形裁剪：

(a) 若点在窗口边界外、第二点在窗口边界内，将交点I与窗口内的点P输入顶点表.

(b) 若两顶点都在窗口边界内，只将第二点输入顶点表，如P。

(c) 若点在窗口边界内、第二点在窗口边界外，将交点I输入顶点表。

(d) 若两点均在窗口边界外，不输入任何点。

2.Weiler-Atherton多边形裁剪：

1.中点分割算法

当对直线段不能简取也不能简弃时，简单地把线段等分为二段，对两段重复上述测试处理，直至每条线段完全在窗口内或完全在窗口外。

中点分割算法的核心思想是通过二分逼近来确定直线段与窗口的交点。

2.梁友栋曲线阶数阶数与次数有关，样条曲线的阶是其次数加一。阶数越高，控制点越多。二次样条的阶数是三，样条曲线段由三个控制点决定；三次样条的阶数是四，样条曲线段与四个控制点决定。-Barsky算法

设要裁剪的线段是P0P1。P0P1和窗口边界交于A,B,C,D四点，见图。

算法的基本思想是从A,B和P0三点中找出最靠近的P1点，图中要找的点是P0。从C,D和P1中找出最靠近P0的点。图中要找的点是C点。那么P0C就是P0P1线段上的可见部分。

插补有哪些分类方式？

3. 于计算机图形学紧密相关的学科主要包括 图像处理、计算几何和计算机视觉模式识别。它们的共同点是 以图形/图像在计算机中的表示方法为基础。

一个曲线可用包含Bezier 曲线的通用数学公式表示。Bspline零件的轮廓往往是多种多样的，有直线，有圆弧，也有可能是任意曲线，样条线等.数控机床的往往是不能以曲线的实际轮廓去走刀的，而是近似地以若干条很小的直线去走刀，走刀的方向一般是x和y方向。插补方式有：直线插补，圆弧插补，抛物线插补，样条线插补等。

1、直线插补

直线插补（LineInterpolation）这是车床上常用的一种插补方式，在此方式中，两点间的插补沿着直线的点群来逼近，沿此直线控制的运动。所谓直线插补就是只能用于实际轮廓是直线的插补方式（如果不是直线，也可以用逼近的方式把曲线用一段线段去逼近，从而每一段线段就可以用直线插补了）.首先设在实际轮廓起始点处沿x方向走一小段（一个脉冲当量），发现终点在实际轮廓的下方，则下一条线段沿y方向走一小段，此时如果线段终点还在实际轮廓下方，则继续沿y方向走一小段，直到在实际轮廓上方以后，再向x方向走一小段，依次循环类推.直到到达轮廓终点为止.这样，实际轮廓就由一段段的折线拼接而成，虽然是折线，但是如果我们每一段走刀线段都非常小（在精度允许范围内），那么此段折线和实际轮廓还是可以近似地看成相同的曲线的--------这就是直线插补。

2、圆弧插补

圆弧插补（CirculaInterpolation）这是一种插补方式，在此方式中，根据两端点间的插补数字信息，计算出逼近实际圆弧的点群，控制沿这些点运动，加工出圆弧曲线。

3、复杂曲线实时插补算法

传统的CNC只提供直线和圆弧插补，对于非直线和圆弧曲线则采用直线和圆弧分段拟合的方法进行插补。这种方法在处理复杂曲线时会导致数据量大、精度、进给速度不均、编程复杂等一系列问题，必然对加工质量和加工成本造成较大的影响。许多人开始寻求一种能够对复杂的自由型曲线曲面进行直接插补的方法。近年来，国内外的学者对此进行了大量的深入研究，由此也产生了很多新的插补方法。如A(AKIMA）样条曲线插补、C(CUBIC）样条曲线插补、贝塞尔（Bezier）曲线插补、PH(Pythagorean-Hodograph）曲线插补、B样条曲线插补等。由于B样条类曲线的诸多优点，尤其是在表示和设计自由型曲线曲面形状时显示出的强大功能，使得人们关于自由空间曲线曲面的直接插补算法的研究多集中在它身上。

iOS世界里的贝塞尔曲线(一)：贝塞尔曲线基础

3. 深度缓冲区算法和深度排序算法的区别：

本系列文章通过介绍 贝塞尔曲线 的基础知识，贝塞尔曲线在iOS中的应用以及一些高级技巧，循序渐进，试图让读者对iOS的中贝塞尔曲线知识有一个较系统的认识。

1. 点、线、面是形成三维图形的基础，三维变换是从点开始。

虽然在12年就已经被发现，但是其对图形的适用性在半个世纪内者也没有被实现，直到1959年在雪铁龙汽车就职的数学家 Paul de Casjau ，开始对伯恩斯坦多项式进行图形化的尝试，并推出一种新的数值稳定(即在求伯恩斯坦多项式的时候不会引入数值误)递归算法 de Casjau 算法 用来伯恩斯坦多项式。根据这个算法，就可以只通过很少的控制点，去生成复杂的平滑曲线，也就是贝塞尔曲线。

而贝塞尔曲线的成名，得益于法国工程师 Pierre Bézier ，他将这种算法用来辅助雷诺汽车的车体工业设计，并且得到广泛宣传。

正是因为其绘制简便却具有极强的描述能力，贝塞尔曲线在工业设计领域迅速得到了广泛的推广和应用。随后随着计算机技术的发展，在计算机图形学领域，尤其是矢量图形学，贝塞尔曲线也占有了重要的地位。

今天我们使用的绘图软件，Illustrator、CorelDraw 等，无一例外都提供了绘制贝塞尔曲线的功能。甚至像 Photoshop 这样的位图编辑软件，也把贝塞尔曲线作为的矢量绘制工具（钢笔工具）包含其中。

这里的一个网站可以在线模拟钢笔工具的使用：

推广到三维空间的 贝塞尔曲面 ，以及更进一步的 非均匀有理 B 样条（NURBS） ，早已成为当今计算机辅助设计（CAD）的行业标准，不论是我们平常用到的各种产品，还是在电影院看到的精彩大片，都少不了它们的功劳。

下面我们就通过例子来了解一下如何用 de Casjau 算法 绘制一条贝塞尔曲线。

3.连接点D、E

4.在线段DE上取点F，使 AD:DC = CE:EB = DF:FE 。 如下图：

那么我们就找到了贝塞尔曲线上的点F，这时让选取的点 D 在线段AB上从起点 A 移动到终点 B，找出所有的贝塞尔曲线上的点 F。所有的点找出来之后，我们也得到了这条贝塞尔曲线。如下图：

如果你实在想象不出这个过程，没关系，看动画！

这样就画出了一条贝塞尔曲线。

贝塞尔曲线的一个比较好的动态演示网站：

回过头来看这条贝塞尔曲线，

根据控制点的个数，贝塞尔曲线被分为一次贝塞尔曲线，二次贝塞尔曲线（3个控制点）、三次贝塞尔曲线（4个控制点）等等，以此类推。

还有只有两个控制点的一次贝塞尔曲线，没错是一条线段，它是贝塞尔曲线的特殊情况：

综上可以看出使用贝塞尔曲线可以画出各式各样的圆形，也可以画出一条直线段。另外，贝塞尔曲线有以下两个重要的特性：

说一说一元样条函数,B-样条函数及其在函数逼近和曲线拟合中的应用

40. 在图形软件中，除了要求能生成直线、圆等基本图形元素外，还要求能生成其他曲线图元、多边形及符号等多种图元。

后由De Boor 和Cox 分别提出的B 样条曲线递推公

式。由于其具有非常稳定的递推性质{ for(;y<=y1;y++)，所以B-spline

曲线既有Bezier 曲线的优点，也有其它的

特性，例如具有控制局部曲线形状的能力，以及在不

改变曲线阶数(order)的情况下增减曲线的控制点数

等特性。

是数值分析期中作业，是够狠的

咱是一班上课吧....老师的期中作业...你真狠，居然来提问........去外文数据库检索splines AND b-splines

我擦 下周五就交了，哥们 有网页什么的别忘了分享啊 咱们一个班的~

这个是你们老师给你们的期中作业吧？

四大汽车逆向工程软件|软件逆向工程

5. 图形学研究的主要内容有：①几何造型技术 ②图形生成技术 ③图形处理技术 ④图形信息的存储、检索与交换技术 ⑤人机交互技术 ⑥动画技术 ⑦图形输入输出技术 ⑧图形标准与图形软件包的研发。

四大汽车逆向工程软件

楼上都是WHO？我也在找，貌似应该认识，下周五交啊

四大逆向工程软件之一 ：Imageware

Imageware 由美国 EDS 公司出品，是最的逆向工程软件，正被广泛应用于汽车、航空、航天、消费家电、模具、计算机零部件等设计与制造领域。该软件拥有广大的用户群，国外有 BMW 、Boeing 、GM 、Chrysler 、Ford 、raytheon 、Toyota 等大公司，国内则有上海大众、、上海 DELPHI 、成都飞机制造公司等大企业。

以前该软件主要被应用于航空航天和汽车工业，因为这两个领域对空气动力学性能要求很高，在产品开发的开始阶段就要认真考虑空气动力性。常规的设计流程首先根据工业造型需要设计出结构，制作出油泥模型之后将其送到风洞实验室去测量空气动力学性能，然后再根据实验结果对模型进行反复修改直到获得满意结果为止，如此所得到的最终油泥模型才是符合需要的模型。如何将油泥模型的外形地输入计算机成为电子模型，这就需要采用逆向工程软件。首先利用三坐标测量仪器测出模型表面点阵数据，然后利用逆向工程软件(例如：Imageware sucer)进行处理即可获得 class 1 曲面。

随着科学技术的进步和消费水平的不断提高，其它许多行业也开始纷纷采用逆向工程软件进行产品设计。以微软公司生产的鼠标器为例，就其功能而言，只需要有三个按键就可以满足使用需要，但是，怎样才能让鼠标器的手感，而且经过长时间使用也不易产生疲劳感却是生产厂商需要认真考虑的问题。因此微软公司首先根据人体工程学制作了几个模型并交给使用者评估，然后根据评估意见对模型直接进行修改，直至修改到大家都满意为止，再将模型数据利用逆向工程软件 Imageware 生成 CAD 数据。当产品推向市场后，由于外观新颖、

曲线流畅，再加上手感也很好，符合人体工程学原理，因而迅速获得用户的广泛认可，产品的市场占有率大幅度上升。

Imageware 逆向工程软件的主要产品有：

Sucer ——逆向工程工具和 class 1 曲面生成工具

Verdict ——对测量数据和CAD 数据进行对比评估

Build it——提供实时测量能力，验证产品的制造性

RPM ——生成快速成型数据

View ——功能与 Verdict 相似，主要用于提供三维报告

Imageware 采用 NURB 技术，软件功能强大，易于应用。Imageware 对硬件要求不高，可运行于各种平台：UNIX 工作站、PC 机均可，作系统可以是 UNIX 、NT 、Windows95 及其它平台。

Imageware 由于在逆向工程方面具有技术先进性，产品一经推出就占领了很大市场分额，软件收益正以 47% 的年速率快速增长。

Sucer 是 Imageware 的主要产品，主要用来做逆向工程，它处理数据的流程遵循点——曲线——曲面原则，流程简单清晰，软件易于使用。其流程如下：

一、点过程

读入点阵数据。

Sucer 可以接收几乎所有的三坐标测量数据，此外还可以接收其它格式，例如：STL 、VDA 等。

将分离的点阵对齐在一起(如果需要) 。

有时候由于零件形状复杂，一次扫描无法获得全部的数据，或是零件较大无法一次扫描完成，这就需要移动或旋转零件，这样会得到很多单独的点阵。Sucer 可以利用诸如圆柱面、球面、平面等特殊的点信息将点阵准确对齐。 对点阵进行判断，去除噪音点(即测量误点) 。

由于受到测量工具及测量方式的限制，有时会出现一些噪音点，Sucer 有很多工具来对点阵进行判断并去掉噪音点，以保证结果的准确性。

通过可视化点阵观察和判断，规划如何创建曲面。

一个零件，是由很多单独的曲面构成，对于每一个曲面，可根据特性判断用用什么方式来构成。例如，如果曲面可以直接由点的网格生成，就可以考虑直接采用这一片点阵；如果曲面需要采用多段曲线蒙皮，就可以考虑截取点的分段。提前作出规划可以避免以后走弯路。

根据需要创建点的网格或点的分段。

二、曲线创建过程

判断和决定生成哪种类型的曲线。

曲线可以是通过点阵的、也可以是很光顺的(捕捉点阵代表的曲线主要形状) ，或介于两者之间。

创建曲线。

根据需要创建曲线，可以改变控制点的数目来调整曲线。控制点增多则形状吻合度好，控制点减少则曲线较为光顺。

诊断和修改曲线。

可以通过曲线的曲率来判断曲线的光顺性，可以检查曲线与点阵的吻合性，还可以改变曲线与其它曲线的连续性(连接、相切、曲率连续) 。Sucer 提供很多工具来调整和修改曲线。

三、曲面创建过程

决定生成那种曲面。

同曲线一样，可以考虑生成更准确的曲面、更光顺的曲面(例如 class 1 曲面) ，或两者兼顾，可根据产品设计需要来决定。

创建曲面。

创建曲面的方法很多，可以用点阵直接生成曲面(Fit free form)，可以用曲线通过蒙皮、扫掠、四个边界线等方法生成曲面，也可以结合点阵和曲线的信息来创建曲面。还可以通过其它例如园角、过桥面等生成曲面。

诊断和修改曲面。

比较曲面与点阵的吻合程度，检查曲面的光顺性及与其它曲面的连续性，同时可以进行修改，例如可以让曲面与点阵对齐，可以调整曲面的控制点让曲面更光顺，或对曲面进行重构等处理。

英国 Triumph Motorcycles 有限公司的设计工程师 Chris Chatburn 说：“利用 Sucer 我们可以在更短的时间内完成更多的设计循环次数，这样可以让我们减少 50% 的设计时间。”

发布的 Sucer 10.6 软件将以下工作流程的高性能工具完整的集成到一起：

[弹性的曲面创建工具]：可以在一个弹性的设计环境里非常方便的直接从曲线、曲面、或测量数据创建曲面，支持贝茨尔(Bezier)和非均匀有理 B 样条(NURBS)曲面两种方法。用户可以选择适合的曲面方法，通过结合两种方法的优点来获益。

[动态的曲面修改工具]：允许用户在交互的方式下试探设计主题，立刻就可以看到是否美观和思路是否符合工程观念。设计、工程分析、制造的标准都通过精心的构造过程考虑进去，所以当每次修改曲面时不需要 再重新校核标准。

[实时的曲面诊断工具]：可以提供诸如任意截面的连续性、曲面反射线情况、高亮度线、光谱图、曲率云图和园柱型光源照射下的反光图等多种方法，在设计的任何时候都可以查出曲面缺陷。

[有效的曲面连续性管理工具]：在复杂的曲面缝补等情况下，即使曲面进行了移动修改等作，也能保证曲面同与之相连的曲面间的曲率连续，避免了乏味的手工再调整过程。

[强大的处理扫描数据能力]：根据 Rainbow 图法(相当于设雨水从上面落下，由于形状异导致雨水流速异) 、曲率大小变化云图法(对于一个完全光顺的 class 1 曲面，相当于曲率大小变化为零，对于两个不同曲面，此值会不同) 将扫描数据分开，这样可以很快地捕捉产品的主要特征，并迅速建立各个相应曲面，避免了费事的分析和处理。

正是由于 Imageware 在计算机辅助曲面检查、曲面造型及快速样件等方面具有其它软件无可匹敌的强大功能，使它当之无愧的成为逆向工程领域的。

四大逆向工程软件之二 ：Geomagic Studio

由美国 Raindrop (雨滴) 公司出品的逆向工程和三维检测软件 Geomagic Studio 可轻易地从扫描所得的点云数据创建出完美的多边形模型和网格，并可自动转换为 NURBS 曲面。该软件也是除了 Imageware 以外应用最为广泛的逆向工程软件。

Geomagic Studio 主要包括 Qualify 、Shape 、Wrap 、Decimate 、Capture 五个模块。主要功能包括：

自动将点云数据转换为多边形(Polygons)

快速减少多边形数目(Decimate)

把多边形转换为 NURBS 曲面

输出与 CAD/CAM/CAE 匹配的文件格式(IGS、STL 、DXF 等)

1. 从CAD 数模得到的产品模型

2. 将CAD 模型读入 Geomagic Studio

3.CAD 设计模型与从实际模型扫描所得的点云数据(不同坐标系)

4. 扫描数据与CAD 模型的自动对合

5. 扫描数据与CAD 模型的自动对齐

6. 误以彩色图形直观显示

7. 用户可标出任意点误

8. Qualify 的结果可以输出为 HTML 格式

CopyCAD

CopyCAD 是由英国 DELCAM 公司出品的功能强大的逆向工程系统软件，它能允许从已存在的零件或实体模型中产生三维CAD 模型。该软件为来自数字化数据的 CAD 曲面的产生提供了复杂的工具。CopyCAD 能够接受来自坐标测量机床的数据，同时跟踪机床和激光扫描器。

CopyCAD 简单的用户界面允许用户在尽可能短的时间内进行生产，并且能够快速掌握其功能，既使对于初次使用者也能做到这点。使用 CopyCAD 的用户将能够快速编辑数字化数据，产生具有高质量的复杂曲面。该软件系统可以完全控制曲面边界的选取，然后根据设定的公能够自动产生光滑的多块曲面 ，同时，CopyCAD 还能够确保在连接曲面之间的正切的连续性。

该软件的主要功能如下：

数字化点数据输入

DUCT 图形和三角模型文件

CNC 坐标测量机床

分隔的 ASCII 码和 NC 文件

激光扫描器、三维扫描器和 SCANTRON

PC ArtCAM

Renishaw MOD 文件

点作

能够进行相加、相减、删除、移动以及点的隐藏和标记等点编辑

能够为测量探针大小对模型的三维偏置进行补偿

能够进行模型的转换、缩放、旋转和镜像等模型转换

能够对平面、多边形或其它模型进行模型裁剪

三角测量

在用户定义的公和选项内的数字化模型的三角测量，包括：

① 原始的——法线设置

② 尖锐——尖锐特征强化

③ 特征匹配——来自点法线数据的特征

④ 关闭三角测量——为了快速绘图可以关闭模型

特征线的产生

边界——转换模型外边缘为特征线

间断——为找到简单的特征(如凸出和凹下) 而探测数据里的尖锐边缘 能够转换数字化扫描线为特征线

输入的数据——能够从点文件中摘录多线条和样条曲线

曲面构造

通过在三角测量模型上跟踪直线产生多样化曲面

在连接的曲面之间，用已存在的曲面定义带有选项的正切连续性的边界 使用特征线指导和加快曲面定义

曲面错误检查

比较曲面与数字化点数据

报告限、中间值和标准值的错误背离

错误图形形象地显示变化

输出

IGES 、CADDS4X

STL ASCII 码和二进制

DUCT 图形、三角模型和曲面

分隔的 ASCII 码

四大逆向工程软件之三 ：RapidForm

作效率提升，使 3D 扫描设备的运用范围扩大，改善扫描品质。

多点云数据管理介面

高级光学 3D 扫描仪会产生大量的数据(可达 100,000 ～ 200,000点) ，由于数据非常庞大，因此需要昂贵的电脑硬件才可以运算，现在 RapidForm 提供记忆管理技术(使用更少的系统资源) 可缩短您处理数据的时间。

可以迅速处理庞大的点云数据，不论是稀疏的点云还是跳点都可以轻易地转换成非常好的点云， RapidForm 提供过滤点云工具以及分析表面偏的技术来消除 3D 扫描仪所产生的不良点云。

快速点云转换成多边形曲面的计算法

在所有逆向工程软件中，RapidForm 提供一个特别的计算技术，针对 3D 及 2D 处理是同类型计算，软件提供了一个最快最可靠的计算方法，可以将点云快速计算出多边形曲面。RapidForm 能处理无顺序排列的点数据以及有顺序排列的点数据。

彩色点云数据处理

RapidForm 支持彩色 3D 扫描仪，可以生成化的多边形，并将颜色信息映像在多边形模型中。在曲面设计过程中，颜色信息将完整保存，也可以运用 RP 成型机制作出有颜色信息的模型。RapidForm 也提供上色功能，通过实时上色

编辑工具，使用者可以直接对模型编辑自己喜欢的颜色。

点云合并功能

多个点扫描数据有可能经手动方式将特殊的点云加以合并，当然，RapidForm 也提供一技术，使用者可以方便地对点云数据进行各种各样的合并。

注：Roland 模具加工机随机所附的 PixForm 软件为 RapidForm 的 OEM 软件.

四大逆向工程软件之四 ：CATIA 逆向软件

比较好的几个逆向软件中CATIA 的逆向是的, 尤其是可以结合其强大的曲面造型功能进行造型设计, 其class A 也是很厉害的, 另外造型完后可以直接在里面做结构做摸具做加工等后续工作, 这个是其他 逆向软件达不到的

geomagic 感觉的优点就是可以自动生成曲面, 但这个也是高端用户所认为的缺点, 自动生成的曲面质量是非常的, 要得到好的曲面, 其前期的处理工作量又是非常大的, 也失去了他快捷的优势了. 另外,CATIA 新版本里面也有自动拟合曲面功能, 但缺点是不能进行曲面编辑调整. 一般都不用这个功能.

copycad 和geomagic 不多, 看不到多大的好处

polyworks 等测量逆向软件, 做法都不多, 但从可作性和方便上来讲, 都不如CATIA 做逆向方便

IMW 做逆向不错, 是做逆向的专业软件中最强大的, 曲面处理也很不错,

能很难作,

以前很多人认为CATIA 的点处理功能比较慢, 功能比较, 可比较了几个逆向软件后感觉点处理速度各个逆向软件不多, 最快的还是国内的某个逆向软件, 从综合角度来考虑, 我认为CATIA 做逆向是个不错的选择。

su如何将多线段拟合成曲线

37. 反走样技术有：提高分辨率（硬件方法和软件方法）、简单区域取样、加权区域取样。

su用数学软件或数学算法将多线段拟合成曲线。具体如下：43. 在中点画圆算法中叙述错误的是：为了减轻画圆的工作量，中点画圆利用了圆的四对称性性质。

1、数学软件，可以用Matlab、Mathematica，在这些软件中有许多拟合曲线的函数库，可以对多个线段进行曲线拟合，得到比较平滑的曲线。