数学中的裂项相消和错位相减，怎么运用？

数学中的裂项相消和错位相减怎么运用，在什么情况

裂项相消求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.常见形如：（1）1/[n(n+1)]=（1/n）-[1/(n+1)]（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)（5）n·n!=(n+1)!-n!（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]（7）1/（√n+√n+1）=√（n+1）-√n（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]错位相减法求和：如果数列的各项是由一个等数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和Sn可用此法来求和。

数学中的裂项相消和错位相减，怎么运用？

数学中的裂项相消和错位相减，怎么运用？

数学中的裂项相消和错位相减，怎么运用？

裂项相消其实应该算是最有局限性的一种数列题，一般公式有：

1/[(x-1)x] =1/(x-1) - 1/x 以及通性 1/[(x-a)x] =1/a[1/(x-a) -1/x]

1/[(2x-1)(2x+1)]=1/2[1/(2x-1)-1/(2x+1)]

这应该是最常用的，数列里面用n，只要记住是分母小的减分母大的，再注意一下前面要成几分之几，就行了

错位相减，就令我印象深刻的一种题，是等数列乘等比数列 求和

比如（2n-1）2^n,这样写出Sn=2+32^2+...+（2n-1）2^n

2Sn=22+32^3+...+2n-1）2^(n+1)

注意这一步一定乘的是公比，然后上式减下式，即可化成等比数列求和，别忘了等式左边还有系数。并且如果是字母的话，讨论q=1的情况即可

裂相相消，错位相减，倒序相加分别适用于哪些形式的数列？

1分组求和法:

就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等（比）数列，它们的和当然就好求了。

例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的话，

可以将通项(2^n-1)/(2^n)写成1-2^(-n)这样就变成每一项都是1-X（X为通项）的公式

对于通项-2^(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了

2数列累加法

逐累加法

例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an

解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22,a4-a3=23, …an-an-1=2n-1

将以上n-1个式子相加可得

an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1

注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐累加法

求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等数列。

逐商叠乘法

例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an

解：当n≥2时， =22, =23, =24,… =2n

将以上n-1个式子相乘可得

an=a1.22+3+4+…+n=2

当n=1时，a1=1满足上式

故an=2 (n∈N)

注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列

3裂项求和：

当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n（n+1）

可拆为 1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1））

然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。

4倒序相加：

最简单的是等数列用倒序相加求和：

1到9 1+9=10 2+8=10。。。所以便有首项加末项乘以项数除以二。1+1/12+1/23+1/34+...+1/900

=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100)(裂项）

=1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100(消元）

=2-1/100

=199/100

一、基本概念：

1、 数列的定义及表示方法：

2、 数列的项与项数：

3、 有穷数列与无穷数列：

4、 递增（减）、摆动、循环数列：

5、 数列{an}的通项公式an：

6、 数列的前n项和公式Sn:

7、 等数列、公d、等数列的结构：

8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：

二、基本公式：

三、9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

四、10、等数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

五、11、等数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

六、12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

七、13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1 (是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn=Sn=

三、有关等、等比数列的结论

八、14、等数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等数列。

九、15、等数列{an}中，若m+n=p+q，则

十、16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

十一、17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。

十二、18、两个等数列{an}与{bn}的和的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等数列。

十三、19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an bn}、 、 仍为等比数列。

十四、20、等数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等数列。

十五、21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

十六、22、三个数成等的设法：a-d,a,a+d；四个数成等的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

十七、23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)

十八、24、{an}为等数列，则 (c>0)是等比数列。

十九、25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c1) 是等数列。

二十、26. 在等数列 中：

（1）若项数为 ，则

（2）若数为 则， ，

二十一、27. 在等比数列 中：

（1） 若项数为 ，则

（2）若数为 则，

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。

二十二、28、分组法求数列的和：如an=2n+3n

29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n

二十三、30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

二十四、31、倒序相加法求和：如an=

二十五、32、求数列{an}的、最小项的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=

二十六、33、在等数列 中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取值.

(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。

在解含的数列最值问题时,注意转化思想的应用

5错位相减：

这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1) 用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。

分组求和：此为裂项求和的反运算，但是没有裂项求和用的频繁，那个是有分式首先就想到裂项求和，如1+3+4+9+……+2^n+3^n 实际上可以看成两个或多个数列，但有时混在一起而且条件不充分时不容易发现。

裂项相消法最常见的就是an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

Sn=1/12+1/23+.+1/n(n+1)

=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消,只剩首尾两项）

=1-1/(n+1)

错位相减法

这个在求等比数列求和公式时就用了

Sn=1/2+1/4+1/8+.+1/2^n

两边同时乘以1/2

1/2Sn=1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）

两式相减

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

Sn=1-1/2^n

倒序相加法

这个在证明等数列求和公式时就应用了

Sn=1+2+..+n

Sn=n+n-1+.+2+1

两式相加

2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)

=(n+1)n

Sn=n(n+1)/2

什么情况下可以用错位相减法

这个数列可以写成等数列和等比数列的乘积的时候

错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等数列相乘的形式.形如An=BnCn,其中Bn为等数列,Cn为等比数列；分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn；然后错一位,两式相减即可.

例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)x^(n-1)（x≠0）

当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；

当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)x^(n-1)；

∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)x^n；

两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)]-(2n-1)x^n；

化简得Sn=(2n-1)x^(n+1)-(2n+1)x^n+(1+x)/(1-x)^2

错位相减法的定义与基本思想

错位相减法和裂项相消法的运用和实例

裂项相消法:（分母可写成2个数相乘的数列求和）

eg:

1/2+1/6+1/12+……+1/n(n+1)

=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/n+1)

=1-1/n+1

错位相减法:（适用于是由一个等数列和一个等比数列组成的数列求和）

eg:

1x2+2x4+3x8+……+nx2的n次方 ……………… 1式

1x4+2x8+3x16……+（n-1)x2的n次方+ nx2的n+1次方 ……………2式

将1式和2式相减,可得.

数列中的 错位相减法 裂项求合法 分组求和 叠乘叠加 如何构造 还有一些基本性质及其公式 如何应用 要举例

错位相减法 适用于等比数列或者等乘以等比数列

裂项求合法 适用于n(n+k)分之一可化简为1/k[1/n-1/(n+k)]之后就可以消了，注意k=1就是相邻的项消掉，k=2就间隔一项消掉。最常见的an=1/n-1/(n+1)和bn=1/n-1/(n+2)

分组求和 适用于等加等比

叠乘 适用于an/an+1=f(n)，比如an/an+1=n(/n+1)，a1=1叠乘之后就得到an=n

叠加 适用于an+1-an=f(n)，比如an+1-an=n，a1=1叠乘之后就得到an=1+n(n-1)/2

行测中的资料分析的“错位相减法“为什么会有两种不同的结果呢？

是因为精度不够用了，因为107=70，147=98，从左边位舍取的话满足不了选项的精度。总之，用错位相减理解原理灵活运用。

错位加减法使用环境：适用于计算多次乘除，例如求增长量、上一年比重、上一年进出口总额等。以增长量为例： 三个量中如果能约掉两个量，则另外一个就是了。

错位加减法基本原理：分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的数值保持不变。

扩展资料:

错位相减法的典例：

已知数列{an}中，a1=3，点(an，an+1)在直线y=x+2上。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn=an`3n，求数列{bn}的前n项和Tn。

解：

(1)∵点（an,an+1)在直线y=x+2上

∴an+1=an+2,即an+1-an=2

∴数列{an}是以3为首项，以2为公的等数列

∴an=3+2(n-1)=2n+1

(2)∵bn=an·3n

∴bn=(2n+1)·3n

∴Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n ①

3Tn=3×32+5×33+…+(2n-1)·3n+(2n+1)·3n+1 ②

由①-②得

-2Tn=3×3+2(32+33+…+3n)-(2n+1)·3n+1

=9+2×

-(2n+1)·3n+1

=-2n·3n+1

∴Tn=n·3n+1

求和：Sn=a+2a2+3a3+…+nan(a≠0,n∈N)

分析：分a=1，a≠1两种情况求解，当a=1时为等数列易求；当a≠1时利用错位相减法即可求得。

参考资料来源：

高中数学中求什么情况下使用错位相减法

设Cn=Bn·An，Bn是等比数列，An是等数列，求Cn前n项和Sn用错位相减法。比如：An=n，Bn=2^n，则Cn=n·2^n，则其前n项和Sn=1×2+2×2^2+……+n×2^n①，2×Sn=1×2^2+2×2^3+……n×2^(n+1)②，则①—②=2+2^2+2^3+……+2^n—n×2^(n+1)=2^(n+1)-2-n·2^(n+1)=-Sn,所以Sn=（n-1）·2^(n+1)+2.（②=公比q·①）

等比和等数列是乘积的形式

数列求和。等比数列与等数列相乘的形式， 形如An=BnCn，其中Bn为等数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。

心情好的时候。

则Cn=n·2^n，则其前n项和Sn=1×2+2×2^2+……+n×2^n①，2×Sn=1×2^2+2×2^3+……n×2^(n+1)②，则①—②=2+2^2+2^3+……+2^n—n×2^(n+1)=2^(n+1)-2-n·2^(n+1)=-Sn,所以Sn=（n-1）·2^(n+1)+2设Cn=Bn·An，Bn是等比数列，An是等数列，求Cn前n项和Sn用错位相减法。比如：An=n，Bn=2^n

高二数学。 什么情况下可以用错位相减法？

当数列的通项公式是由等边数列的通项公式×等数列的通项公式时，可以用错位相减法，

即一般来书遇到这样的通项公式

an=(kn+t)q^n时求和时，可以用错位相减法