多项式乘法分治算法——时间复杂度怎样计算？

多项式乘法分治算法的时间复杂度怎样计算？

长度为2n的多项式，可以分解为3次长度为n的乘法

多项式乘法分治算法——时间复杂度怎样计算？

多项式乘法分治算法——时间复杂度怎样计算？

多项式乘法分治算法——时间复杂度怎样计算？

运行时间

T(n)=3T(n/2)

可以得复杂度为N^(log3）

我是说的两个n项的多项式，还有另一种快速傅里叶变换的算法，复杂度是（Nlog(N))

分析计算一元多项式的加法、减法、乘法的时间和空间复杂度

不好意思今天才看到求助。

m阶和n阶多项式的加法、减法，复杂度是O(n+m)，空间复杂度也是O(n+m)。这个肯定是无悬念的

m阶和n阶多项式的乘法，朴素算法时间复杂度是O(nm)，空间复杂度O(n+m)。

如果使用傅里叶变换来来做多项式乘法，时间复杂度可以做到O((n+m)log(n+m))，比朴素算法低，空间复杂度仍然是O(n+m)

至于除法，多项式的普通的长除法时间复杂度是O(nm)，空间复杂度O(n+m)。

我不清楚是否有方法优化除法的时间复杂度(就像使用傅里叶变换优化乘法一样)，但可以肯定时间复杂度一定不会高于O(nm)，空间复杂度一定不会高于O(n+m)。

一元多项式（加法、减法、乘法）时间和空间复杂度计算和比较

设都是链接存储

1、时间复杂度

加减法：O(m + n)

乘法：一般是O(mn)

2、空间复杂度：

加减法：两个多项式原地合并为O(1)，需要开辟新空间则为O(m + n)

乘法：一般坏是O(mn)

什么叫多项式时间算法

多项式时间在决定型机器上是小的复杂度类别，且在机器模型改变时依旧强韧，且也是可在副程式组合过程中保持封闭的类别。

数学家有时把“比多项式时间长的算法”视为快速计算，相对应的是超多项式时间，表示任何多项式时间的输入数目只要够大，超多项式时间所需的解题时间终究会大大超过任何多项式时间的问题。

指数时间就是一例。

定义：

多项式时间在计算复杂度理论中，指的是一个问题的计算时间不大于问题大小的多项式倍数。任何抽象机器都拥有一复杂度类，此类包括可于此机器以多项式时间求解的问题。

多项式时间在决定型机器上是小的复杂度类别，且在机器模型改变时依旧强韧，且也是可在副程式组合过程中保持封闭的类别。

强多项式时间指的是此问题的运算时间不因输入资料的数字大小而变动，而是依照输入资料的结构复杂度。

什么叫多项式时间算法

定义：若存在一个常数C，使得对于所有n>=0，都有|f(n)|

<=

C|g(n)|，则称函数f(n)是O(g(n))。时间复杂度是O(p(n))的算法称为多项式时间算法，这里p(n)是关于n的多项式。不能够这样限制时间复杂度的算法被称为指数时间算法。

例如：时间复杂度为O(nlog(n))、O(n^3)的算法都是多项式时间算法，时间复杂度为O(n^log(n))、O(n!)、O(2^n)的算法是指时间算法。

一个优化问题如果已经找到了多项式时间算法，则称该问题为多项式时间可解问题，并将这类问题的记为P，因此多项式时间可解问题就称为P类问题。

一个问题如果没有找到多项式时间算法，那么直觉上它是“难解”的，但又往往无法证明多项式时间算法的不存在性。由于在寻找有效算法上的失败未必一定意味着这样的算法不存在，这就给理论工作者带来了一个难题：一方面证明一个问题不存在多项式时间算法是困难的，至今尚未给出；另一方面有越来越多的问题无法给出多项式时间算法。同时，理论工作者又渴望解决此难题。为此，在20世纪70年代提供了一个漂亮的理论，它把这种失败归结为一个深刻的数据猜想，这个理论就是NP-完全性理论。

定义：给定一个判定问题，如果存在一个算法，对任何一个为“是”的实例I。该算法首先给出一个猜想，该猜想规模不超过I的输入长度的某个多项式函数，且验证猜想的正确性仅需多项式时间，则称该问题属于NP类。

定义：如果NP类中所有问题都可以多项式时间归约到NP类中某个问题x，则称x是NP-完全问题。

定义：如果某优化问题x的判定问题是NP-完全的，则称问题x是NP-难的；如果x的判定问题是强NP-完全的，则称x是强NP-难的。

时间复杂度

求解算法的时间复杂度的具体步骤是：

⑴ 找出算法中的基本语句；

算法中执行次数多的那条语句就是基本语句，通常是内层循环的循环体。

⑵ 计算基本语句的执行次数的数量级；

只需计算基本语句执行次数的数量级，这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和次幂的系数。这样能够简化算法分析，并且使注意力集中在重要的一点上：增长率。

⑶ 用大Ο记号表示算法的时间性能。

将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。

果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。例如：

个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο(n2)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2)=Ο(n2)。

Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)。

其中Ο(log2n)、Ο(n)、 Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3)称为多项式时间，而Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间。计算机科学家普遍认为前者（即多项式时间复杂度的算法）是有效算法，把这类问题称为P（Polynomial,多项式）类问题，而把后者（即指数时间复杂度的算法）称为NP（Non-Deterministic Polynomial, 非确定多项式）问题。

一般来说多项式级的复杂度是可以接受的，很多问题都有多项式级的解——也就是说，这样的问题，对于一个规模是n的输入，在n^k的时间内得到结果，称为P问题。有些问题要复杂些，没有多项式时间的解，但是可以在多项式时间里验证某个猜测是不是正确。

4）在计算算法时间复杂度时有以下几个简单的程序分析法则:

(1).对于一些简单的输入输出语句或赋值语句,近似认为需要O(1)时间

(2).对于顺序结构,需要依次执行一系列语句所用的时间可采用大O下"求和法则"

求和法则:是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则 T1(n)+T2(n)=O(max(f(n), g(n)))

特别地,若T1(m)=O(f(m)), T2(n)=O(g(n)),则 T1(m)+T2(n)=O(f(m) + g(n))

(3).对于选择结构,如if语句,它的主要时间耗费是在执行then字句或else字句所用的时间,需注意的是检验条件也需要O(1)时间

(4).对于循环结构,循环语句的运行时间主要体现在多次迭代中执行循环体以及检验循环条件的时间耗费,一般可用大O下"乘法法则"

乘法法则: 是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则 T1 T2=O(f(n) g(n))

(5).对于复杂的算法,可以将它分成几个容易估算的部分,然后利用求和法则和乘法法则技术整个算法的时间复杂度

另外还有以下2个运算法则:(1) 若g(n)=O(f(n)),则O(f(n))+ O(g(n))= O(f(n))；(2) O(Cf(n)) = O(f(n)),其中C是一个正常数

简单的说 就是可以将两个算法的时间复杂度 相加或相乘

(1)、O(1)

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。注意：如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

(2)、O(n2)

2.1. 交换i和j的内容

解：因为Θ(2n2+n+1)=n2（Θ即：去低阶项，去掉常数项，去掉高阶项的常参得到），所以T(n)= =O(n2)；

去低阶项，去掉常数项，去掉高阶项的常参得到

该算法的时间复杂度T(n)=O(n^2).

(3)、O(n)

T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

该算法程序的时间复杂度为 O(n)

后续更新

（急）多项式时间内算法 看论文上写算法复杂度控制在多项式时间内,什么叫多项式时间

多项式时间就是指时间复杂度是个多项式

或者说,就是这个程序运行的时间随着数据规模n变化的函数为

f(n)

那么,f(n)是个多项式函数,那么就可以说是控制在多项式之内.