蝴蝶定理公式 三角形蝴蝶定理公式

三角形的面积公式？

∴FG⊥DE的中点。

一、等积变换模型

蝴蝶定理公式 三角形蝴蝶定理公式

蝴蝶定理公式 三角形蝴蝶定理公式

⑴等底等高的两个三角形面积相等；

其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图

反之，如果 ，则可知直线 平行于 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理（共角定理）模型

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在 中， 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角分别是 上的点(如图1)或 在 的延长线上， 在 上(如图2)，则

三、蝴蝶定理根据百度教育显示梯形蝴蝶定理是指平面几何中的重要定理，梯形蝴蝶模型面积公式是S1：S2等于a的2次方除以b的二次方。模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

① 或者 ②

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

①② ；

③梯形 的对应份数为 。

四、相似模型

相似三角形性质：

① ；

② 。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

S△ABG S△AGC S△BGE S△EGC BE EC

S△BGA S△BGC S△AGF S△FGC AF FC

椭圆的蝴蝶定理变形

81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它

证明：圆半径为r,则52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等r=AB/2

分别过点A,B做右准线的垂线，则构成一个直角梯形，两底长分别为AF/e,BF/e(e为离心率）

圆心到准线的距离d为梯形的中位线长即(AF+BF)/2e

∵0AB/e=r

∴相离

无需证明根SdeltaAOB：SdeltaAOC＝BD：CD本就不成立

蝴蝶定理是几年级内容

S△AGC S△BCG S△ADG S△DGB AD DB

蝴蝶定理是小学六年级的，有些地方教育超前五年级甚至四年级就涉及到了，属于小学奥数比赛范围内的知识。

定理内容：

去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为"坎迪定理"，不为中点时满足：1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP，这对2，3均成立。

62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形蝴蝶定理推54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等广：

1、M作为圆内弦的交点是不必要的，可以移到圆外。

2、圆可以改为任意圆锥曲线。

3、将圆变为一个筝形，M为对角线交点。

4、去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”。不为中点时满足：1/(MY)-1/(MX)=1/(MQ)-1/(MP)。这对1，2均成立。

以上资料参考

蝴蝶定理张角定理

张角定理把平面几何和三角函数紧密相连，它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式，并且是一个非常有效的证明三点共线的手段。用它去解几何题，适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识，可以大大简化解题步骤，众

53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边10 内错角相等，两直线平行相等

数学题：在不规则△ABC中，BD=CE，请问BC与DE的数量关系

49四边形的外角和等于360°

其实好算的 只是有些公式 我忘了 不过DE与BC的数量关系是有固定公式的而BD与CE也能利用边角关系求出 一般这种题要多画图 等边的 等腰的 不规则的 画的越多 懂的越多

连接EG和DG

∵B44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上D，CE是高在三角形ABC，AC，BD，边，G是BC的中点

∴GE =图1 图2（1/2）BC，GD =（1 / 2）BC GE = GD

∵F是DE

bc=ed 蝴蝶定理？他们等底等高呀

BC=DE，，，，，，，，

你确定就这些条件吗，，应该还有其他条件吧

北师大版初中常用数学公式和定理

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

大于0的数叫正数,前面加上负号的数叫负数 0既不是负数也不是正数

蝴蝶定理，是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，由霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。

整数可以看作分母为1的分数.正整数,0’负整数’正分数,负分数 写成分数的形式称为有理数. 在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点

只有负号不同的两个数叫做互为相反数一般的,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的,记作IaI 一个正数的是它的本身;一个负数的是它的相反数;0的是0 (1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数; (2)两个负数,大的反而小.

有理数加法法则:1.同号相加,取相同负号.并把相加 2.不相等的异号两数相加,取较大的加数的负号,并用较大的减去较小的.互为相反数的两个数相加得0. 3.一个数同0相加,仍得这个数

有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数

有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,负号得负,并把相乘. 任何数同0相乘都得0

有理数除发法则:除以一个不为0的数,等于乘以这个数的相反数

都是数字或字母的积,叫做单项式 单独的一个数或一个字母也叫单项式 单项式中的数字因数叫做这个单项式的积 一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 几个单项式的和叫做多项式 其中每个单项式叫做多项式的项 不含字母的叫做常数项 多项式里次数项的次数,叫做这个多项式的次数

1.皮克公式 S=a+1/2b-1

2.等和数列之一： 5+6(n-1)

几何公式和定理（初中）

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的小于第三边

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）

31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的

42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

48定理 四边形的内角和等于360°

50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论 任意多边的外角和等于360°

55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

61矩形性质定理2 矩形的对角线相等

63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第

三边

的一半

82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么

(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例

87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

分线的比都等于相似比

97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长

142正三角形面积√3a／4 a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为

360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

实用工具:常用数学公式

公式分类 公式表达式

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |金字塔模型 沙漏模型a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 12+23+34+45+56+67+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

圆柱侧面积 S=ch=2pih 圆锥侧面积 S=1/2cl=pirl

柱体体积公式 V=sh 圆柱体 V=pir2h

请问各位大虾，鸟头模型、蝴蝶模型、燕尾模型的公式都是些什么啊？

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

1、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形有相等或余角。这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积之比等于相等或余角的两边的乘积之比

如△ABC、D、E分别为AB、AC上的点（或D在BA的延线上，E在AC上），则后有S△ABC：S70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角ADE＝（AB×AC）＝（AD×AE）

2、蝴蝶定理模型

在直角梯形ABCD中，AB＝15厘米，AD＝12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

【解】:将AE连起来，由蝴蝶定理得S△AEF = 15，

因为S△ABC＝15×12÷2＝90，所以S△ABF＝90－15＝75

再次利用蝴蝶定理，得到S△EFC＝15×15÷75＝3

SABCD等于12乘以15加15加3等于198

3．燕尾定理：三角形ABCADBECF相交于同一个点O，是的

SdeltaAOB：SdeltaCOB＝AE：CE

Sdeltabok：SdeltaAOC＝BF：AF

扩展资料：

已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，F是DE的中点。求△DFG的和四边形AEFG的面积的比是多少？

由于F为DEF的中点，△CFD＝△CEF△AFE＝△AFD

因为E是AC的中点，所以△CEF＝△AEF

△CFD＝△CEF＝△AEF

因此△CFA：△CFD＝2：1

根据鸠尾定理：△AGF：△DGF＝△CFA：△CFD＝2：1

△DFG：AEFG＝1：（2＋1＋2）＝1：5

bf:fc=bfd:fdc=abd:adc

蝴蝶模型：

两边三角之积等于上下三角之积，并且两遍三角面积相等。

燕尾模型：

左右两三角形等于底三角形两底边之比。

梯形蝴蝶定理是指平面几何中的重要定理，由于该定理的几何图形形象奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。计算公式有S3: S4=ab：cd。

蝴⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图 ；蝶模型公式

38：面积之比：燕尾定理模型、蝴蝶定理、梯形蝴蝶模型、共角模型

59平行四边形判定17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

面积之比基本模型，适合初中生，对于高中生是必须掌握的基础。很简单，无非12两直线平行，同位角相等就是利用相似三角形对应边之比。共角模型中运用了三角形的面积公式。在论证燕尾定理的等式关系时，运用了比例的性质当中的分比定理。

平面几何中的定理或者公式(要高难度的)

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

爱尔多斯-莫德尔不等式：

11 同旁内角互补，两直线平行

对三角56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形形ABC中一点P,设P到三边距离分别为d1,d2,d3,则PA+PB+PC≥d1+d2+d3

爱尔多斯-莫德尔不等式：

对三角形ABC中一点P,设P到三边距离分别为d1,d2,d3,则PA+PB+PC≥d1+d2+d3

抛物线中点弦公式是什么？

设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

抛物线中点弦公式是：抛物线C：x2=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α2。对于给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。其中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线C上不同两点A、B的线段AB称为圆锥曲线C的弦。

二次曲线中点弦性质与35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形蝴蝶定理：

蝴蝶定理是二次曲线一个定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性，不少中数专著或杂志至今还频繁讨论，本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式。

蝴蝶定理（Butterfly Theorem五、燕尾定理模型），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，由W.G.霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法不胜枚举，仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。

梯形蝴蝶模型面积公式

93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

S1：S2等于a的2次方除以b的二96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平次方。

37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

由于梯形蝴蝶定理的几何图形形象奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。