等比数列求和(等比数列求和公式推导)

对于等数列除以等比数列前n项和的求解

可知：An/Bn=(2-n)/[2^(n-1)]=2^(2-n)-n2^(1-n)

等比数列求和(等比数列求和公式推导)

等比数列求和(等比数列求和公式推导)

令Tn=An/Bn，an=2^(2-n)，bn=n2^(1-n)

则Tn的前n项和即是an的前n项和减去bn的前n项和

令an、bn、Tn的前n项(前提：q不等于 1)注意：以上n均属于正整数。和分别为：S1、S2、Sn

1)、由an=2^(2-n)可知，an是首项为2，公比为1/2的等比数列

所以，根据等比数列的求和公式可求出S1

S1=2[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=4-2^(2-n)

2）、由bn=n2^(1-n)可知，

S2=12^0+22^(-1)+32^(-2)+42^(-3)+.......+(n-1)2^(2-n)+n2^(1-n)

(1/2)S2=12^(-1)+22^(-2)+32^(-3)+......+等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。(n-1)2^(1-n)+n2^(-n)

S2-(1/2)S2=2^0+2^(-1)+2^(-2)+2^(-3)+.....+2^(1-n)-n2^(-n)

=[1-(1/2)^n]/[1-1/2]-n2^(-n)

=2-2^(1-n)-n2^(-n)

=2-(2+n)2^(-n)

即，S2=[2-(2+n)2^(-n)]2=4-(2+n)2^(1-n)

则：Sn=S1-S2

=4-2^(2-n)-4-(2+n)2^(1-n)

=(-4-n)2^(1-n)

综上所述：An/Bn的前n项和为：(-4-n)2^(1-n)

请参考下图：

Sn=1(1/2)^0+0(1/2)^1+(-1)(1/2)^2+(-3)(1/2)^3+……+(2-n)(1/2)^(n-1)

两式错位相减得到

(1/2)Sn=1(1/2)^0+(-1)[(1/2)^1+(1/2)^2+(1/2)^3+……+(1/2)^(n-1)]-(2-n)(1/2)^n

=1-[(1/2-(1/2)^n)/(1-1/2)]-(2-n)(1/2)^n

=(1/2)^(n-1)-(2-n)^(1/2)n

所以Sn=(1/2)^(n-2)-(2-n)(1/2)^(n-1)=n2^(1-n)

Sn=1(1/2)^0+0(1/2)^1 +(-1)(1/2)^2+(-2)(1/2)^3 +……+(2-n)(1/2)^(n-1)......................①

(1/2)Sn= 1(1/2)^1 +0(1/2)^2 +(-1)(1/2)^3 +(-2)(1/2)^4+……+(2-n)(1/2)^n........②

①-②

(1/2)Sn=1(1/2)^0+(-1)(1/2)^1 +(-1)(1/2)^2+(-1)(1/2)^3 +……+(-1)(1/2)^(n-1)+(n-2)(1/2)^n

=1-[ (1/2)^1 +(1/2)^2+(1/2)^3 +……+(1/2)^(n-1) ] + (n-2)(1/2)^n

=1-[1-2^(1-n)] + (n-2)/2^n

=1/2^(n-1) +(n/2 -1)/2^(n-1)

=(n/2)/2^(n-1)

=n/2^n

Sn=2n/2^n = n / 2^(n-1) 即：Sn = n / 2^(n-1)

祝你学习进步，更上一层楼！ (^__^)

等比数列如何求和？

（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

求极限方式：

求和公式用文字来描述就是：Sn=首项（1-公比的n次方）/1-公比（公比≠1）如果公比q=1，则等比数列中每项都相等；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意讨论公比q是否为1。

一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等数列是“同构”的。

扩展资料：

等比数列的性质：

（1）若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq。

（3）若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab（在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。G≠0）”。

（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{anbn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

参考资料来源：

等比数列前n项和公式是什么？

等比数列前n项和公式为：

1、Sn=na1(q=1)

2、Sn=2、等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)a1(1-q^n)/(1-q)

=(a1-a1q^n它们可以分别看做是以a1、a2为首项，以q的平方为公比的等比数列，然后分别代等比数列的前n项和公式就行了。)/(1-q)

扩展资料

等比数列性质

1、若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等，公为log以a为底q的对数。

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

3、由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

参考资料来源：

等比数列中奇数项和偶数项的和怎么求，有推论

=1-1+(1/2)^(n-1)-(2-n)^(1/2)n

等比数列的奇数项构成的还是等比数列，偶数项也一样，可以用等比数列求和公式来做。

例如奇数项，首项是a1，公比原来是q，和为 a1（1-q的2n次方）/（1-q的平方）

偶数项为a1q（1-q的2n次方）/（1-q的平方）

从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。

等比数列求通项方法

（1）待定系数法：已知an+1=2an+3，a1=1，求an？

构造等比数列an+1+x=2（an+x）

an+1=2an+x，∵an+1=2an+3 ∴x=3

∴（an+1+3）/ an+3=2

∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1×qn-1=4×2n-1,an=2n+1-3

∵Sn=a·2n+b∴Sn-1=a·2n-1+b

∴an=Sn-Sn-1=a·2n-1 [2] 。

以上内容参考来源：

等比数列的奇数项构成的还是等比数列，偶数项也一样，所有还是可以用等比数列求和公式来做。

如奇数项，首项是a1,公比原来是q的话，想在就是q的平方，它的和为 a1（1-q的2n次方）/(1-q的平方）

而偶数项则为a1q（1-q的2n次方）/(1/2)Sn=1(1/2)^1+0(1/2)^2+(-1)(1/2)^3+(-3)(1/2)^4+……+(2-n)(1/2)^n(1-q的平方）

等比数列求和的方法

=a1/(1-q)-a1/(1-q)q^n ( 即a-aq^n)

等比级数若收敛（2）定义法：已知Sn=a·2n+b，求an的通项公式？，则其公比q的必小于1。

q大于1时等比级数发散。

等比数列（又名几何数列）:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

根据历史传说记载，象棋起源于古印度，见诸于文献早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的.据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训.他向国王了一种在当时尚无人知晓的游戏.国王当时整天被一群溜须拍大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情。

对首项为a1,公比为q的等比数列，an＝a1·q^(n-1)，

Sn＝a1(1-q^n)/(1-q)。

关于等比数列求和

a1=1十λa1

a1(1-λ)=1

a1=1/(1-λ)

如果λ=1，分母为零求和公式为故当n趋向于无穷时，等比数列求和公式中q的n次方趋于0（|q|<1），此时Sn=a1/（1-q）。，没有意义。

等比级数若收敛，则其公比q的必小于1。

q大于1时等比级数发散。

等比数列（又名几何数列）:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

根据历史传说记载，象棋起源于古印度，见诸于文献早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的.据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训.他向国王了一种在当时尚无人知晓的游戏.国王当时整天被一群溜须拍大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情。