如何学好平行线判定和性质 平行线的判定技巧

平行线的性质和判定

一、平行线的性质：

如何学好平行线判定和性质 平行线的判定技巧

如何学好平行线判定和性质 平行线的判定技巧

如何学好平行线判定和性质 平行线的判定技巧

在同一平面内，不平行两条直线一定相交，平行用符号“∥”表示。

在同一平面内，经过直线外一点，与直线平行的直线只有一条。

二、平行线的判定：

1、同位角相等，两直线平行；

2、内错角相等，两直线平行；

3、同旁内角互补，两直线平行；

4、两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行；

5、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；

6、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行；

7、同一平面内相交的两直线互相平行。

线线平行与“三线八角”有关的判定方法：

在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：

1、同位角相等，两直线平行。

在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：

2、内错角相等，两直线平行。

平行的判定，平行线的性质

平行的定义是什么？平行的定义就是在同一平面内，两条没有共点的直线。如果判断两条直线平行？两条直线被一条直线所截，而当这两条直线为平行线时，这条成为交叉线的直线，会使这三条直线之间产生角度，一共会产生八个角度，这个八个角度之间的关系，可以证明原本的两条线是平行线，于是我们可以通过寻找角度关系来判断两条直线是否是平行线。

在这个已经确定是平行线的两条直线上截一条线，而这里所产生了八个角，而这八个角之间，通过观察测量计算，可以发现角一与角二的角度是相同的，通过推理证明，可以发现是因为直线a与直线c固定，直线b平移角度不变，通过测量可以发现，两者角度相同，这两个角所在的位置关系可以定义为同位角。

而角四与角二的角经过猜测后发现两者的角度应该相同，而通过推理法定义同位角关系为公理时，求证角四与角2度数相等时，两条直线平行。因为角四等于角二（如图已知）所以角二等于角一（同位角相等）因为角一等于角四（对顶角相等）所以直线AB平行。通过此方法，可以证明出当以上那种角四与角二所在的位置关系，的时候如果角四与角二相等，则AB平行。于是我们可以又得到一个定将此定理名称定为内错角相等时直线AB平行。

但是如果两条直线平行时之间角的位置规律关系还不止这些，根据猜测角三与角二相加，应该等于180度，于是可以进行证明角三角二之和为180度时两条直线平行。

因为180度减去角二等于角五，（如图已知）所以角五等于角三（内错角相等）因为角五等于角三，所以角二加角三=180度通过此推理过程，可以在两条直线BC被直线a所截时角位置关系位于角三与角二角二角2=180度则BC平行。这种位置关系可以叫做同旁内角。也是定理的一种。

这三种方法都可以断定，两条直线是否为平行线，但是他们都有个共同的条件，那就是两条直线已经被第三条直线所截，而这里判断平行线的原理在于平行线被第三条直线所截之间产生的角度进行比较与互补，而如果单纯的两条平行线，在没有第三条直线截两条平行线时，是无法用此方法判断两条线是否为平行线的。

可是，知道两条线为平行线，还有什么可以进行实际应用的呢？这里可以实际应用的可就大了，通过平行线的性质，我们就可以用它来进行判定一些其他信息，所以平行线也算是一个工具。

首先猜测一下平行线有什么性质，其实通过判定定理就可以清晰的看出平行线的性质，平行线应该有以下的性质，若同位角相等两条直线平行，第二，若若内错角相等两条直线平行，第三如果同旁边旁内角互补，两条直线平行

有了猜测就要判定，首先我们要先画三条直线，已知互相平行的直线为AB，第三条相交线为c，产生的同位角为角一，角二，产生的内错角为角三，角一，产生了同旁内角为角一，角四。

首先要求证的是两条直线平行时被第三条直线所截，内错角相等。之所以不先正明同位角相等，两条直线平行，是因为这是公理。我们的自尊名也需要通过这条公理的证明。证明：因为A平行于b（已知）所以角一等于角二（同位角相等）角一等于角三（等量代换）所以两条直线平行（同位角相等两条直线平行）所以结论是若两条直线平行时内错角一定相等。随后要证明的要是两条直线平行时，同旁内角互补。证明：因为A平行于b，（已知）所以角一等于角二（两条直线平行同旁内角相等）因为180度减去角二等于角四，所以角一加角4=180度，（等量代换）所以结论是两条直线平行时同旁内角一定相等。而终结论也是月亮要直线平行时内错角一定相等，同旁内角一定互补，同位角一定相等。

运用平行线的判定和性质时要注意什么

什么是平行即在同一平面内，相交的两条直线互为平行线。 虽然平行线在平面内定义，但也适用于立体几何.平行线的判定与性质是几何的基础知识，也是初中几何的重点内容.由于同学们初次接触“判定”与“性质”，对它们的关系不清楚，而且对推理证明的引入比较陌生，因而有些同学在学习中产生困难，本文谈几点看法，希望对同学们有所帮助. 一、要弄清“判定”与“性质”的区别与联系 ，二要明白它们的用法。

平行线的性质

1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

以上性质可简单说成：

1.两条直线平行，同位角相等。

2.两条直线平行，内错角相等。

3.两条直线平行，同旁内角互补。

平行线的判定

1.平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。）

2.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。

3.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

4.同位角相等，两直线平行。

5.内错角相等，两直线平行。

6.同旁内角互补，两直线平行。

平行线的判定和性质研究的都是两直线被第三条直线所截的图形首先通过画图认识什么是平行线

平行线的画法 用三角板和直尺过直线外一点作一条直线的平行线的方法可概括为：一“落”、二“靠”、三“推”、四“画”.即一“落”：三角板的一边落在已知直线上；二“靠”：直尺靠在三角板的另一边；三“推”：把三角板沿直尺推动，使开始落在已知直线上的一边经过已知点；四“画”过已知点沿三角板这边画直线.三线八角的概念。在研究平行线的判定和性质时要涉及到同位角、内错角、同旁内角，判别这些角的位置的关键是寻找两条直线被第三条直线相交，可以说这个图形是它们共同的、必备的前提条件；它们的区别是：平行线的性质和平行线的判定中的条件和结论恰好相反： 平行线的“判定”，是为了判断两条直线是否平行，就要先研究同位角、内错角、同旁内角的数量关系，当知道了“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”时，就可以判定这两条直线平行。它们是由“数”到“形”的判断。 平行线的“性质”，是已经知道两条直线平行时，就可以推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的数量关系，即“平行线”这种图形具有的性质。它们是由“形”到“数”的说理。

平行线的“判定”和“性质”既紧密联系又有根本区别，往往容易混淆，在有关平行线的证明题中，初学者往往搞不清什么时候用平行线的性质定理，什么时候用判定定理.要搞清这个问题，首先要弄清楚这两个定理的结构（如下表）. 由表不难看出，两定理的条件、结论恰好相反.因此，解题时究竟用哪个定理，可总结为：已知平行用性质，要证平行用判定.

如何应用判定与性质解题呢下面我以几个问题为例加以说明。

例1 已知：如图： BD平分∠ABC， ∠1=∠2 ，∠C=70， 求∠ADE 的度数

分析：此题是求角度问题，首先确定应用平行线的判定解题，而要说明角的大小关系就必须证明直线的位置关系，还要使用平行线的性质定理，恰好可用已知两角相等这一条件。此外，通过对问题的分析与说理，可以使学生逐步形成证明的思路 .

解：∠1=∠2（已知） ED∥BC（内错角相等，两直线平行）。

由图可知，ED、BC被AC所截，∠C=∠ADE（两直线平行，同位角相等）。

又∠C=70（已知），∠ADE=70。

例2 如图BE平分∠ABC，EC平分∠BCD，∠E=90°那么AB∥CD吗？为什么？ 分析：这是说明两直线的位置关系应使用性质定理，每次在解题之前可让学生先说说解题思路，每一步结论的依据是什么，让学生逐步感知证明的所有步骤都是有理有据的。不可以想到哪说道哪而没有一个总的思路。

解：∠E=90°（已知），∠1+∠2=90°（三角形内角和性质）。

又BE平分∠ABC（已知），EC平分∠ BCD（已知）。

∠ABE+∠DEC=90°（角平分线的定义）。

∠ABC+∠BCD=180°（等量代换）

AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。

对于初学者，能让学生先说一说解题思路，因为语言是思维的体现，会说也就会写了。

例3.如图，DE∥BC，∠ADE=∠EFC.

将说明∠1=∠2成立的理由填写完整.

解：∵ DE∥BC（已知）

∴∠ADE=∠ABC （两直线平行，同位角相等.）

∵∠ADE=∠EFC（已知）

∴∠∠EFC =∠ABC

∴DB∥EF（同位角相等，两直线平行）

∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）

在学会了如何应用判定与性质解题，但往往因为七年级学生刚开始学习证明，书写过程亦缺乏条理性，通过补充证明过程，可慢慢熟悉证明题的书写格式。

例4如图，BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别为垂足，∠1=∠2，试说明∠ADG =∠C 。

解：∵∠ADG+∠1+∠FDB=180°（平角的定义）

∠2+∠C+∠CFE=180°（三角形内角和定义）

∴∠ADG+∠1+∠FDB=∠2+∠C+∠CFE

∵∠1=∠2（已知）

∠FDB=∠CFE=90°（垂线的定义）

∴∠ADG =∠C（移项变号）

这也是一道综合性问题，因为是由角的大小关系证明角的大小关系，因此既要用判定又要用性质，在解答此题时可以让学生逆推法寻找解题思路，这样也可以帮助学生合理的使用已知条件。

例5.如图，A、F、C、D四点在一直线上，AF= CD，AB//DE，且AB = DE，判断EF和BC是否平行，并说明理由。

∵AC-FC=DF-FC

∴AC=DF

∵ED、AB被AD所截。

∵AB//DE（已知）

∴∠EDF=∠CAB（两直线平行，内错角相等）

∵AB = DE（已知）

∠EDF=∠CAB（已证）

AC=DF（已知）

∴三角形ABC三角形DEF（SAS）

∴∠BCF=∠EFD（全等三角形的对应边相等）

∴EF//BC（内错角相等，两直线平行）此题的难度有所增加，不但要熟悉判定与性质的使用，还要清楚全都三角形的性质与判定，知识点间是相互关联的，所以在解题时一定要仔细审题，而不要急于做题。

例6如图BE是AB的延长线，DF是AD的延长线，∠CBF=∠A=∠C。

1.由∠CBF=∠A，可以判定哪两条直线平行？依据是什么？

2.由∠CBE=∠C，可以判定哪两条直线平行？依据是什么？

3.要证明AF∥BC需要哪些角相等？

4.要证明AE∥DC需要哪些角相等？

平行线的判定和性质

平行线的判定和性质如下：

一、判定方法

1、在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：同位角相等，两直线平行。

2、在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：内错角相等，两直线平行。

3、在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：同旁内角互补，两直线平行。

二、性质

1、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。

2、两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

3、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。

4、若两条直线同时平行于第三条直线，这两条直线平行。即：平行线的传递性。

5、两直线平行，同位角相等。

6、两直线平行，内错角相等。

7、两直线平行，同旁内角互补。

8、同位角相等，两直线平行。

9、内错角相等，两直线平行。

10、同旁内角互补，两直线平行。

平行线的性质与判定

平行线的性质：两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。

平行线的判定：同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角相等，两直线平行。

扩展：

平行线公理是几何中的重要概念，欧氏几何的平行公理，可以等价的陈述为“过直线外一点有的一条直线和已知直线平行”。而其否定形式“过直线外一点没有和已知直线平行的直线”或“过直线外一点至少有两条直线和已知直线平行”，则可以作为欧氏几何平行公理的替代，而演绎出于欧氏几何的非欧几何。