代数基本定理因式分解 数学初中代数式的因式分解方法

因式分解的方法?

问题一：因式分解的方法 所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解!

代数基本定理因式分解 数学初中代数式的因式分解方法

代数基本定理因式分解 数学初中代数式的因式分解方法

代数基本定理因式分解 数学初中代数式的因式分解方法

代数基本定理因式分解 数学初中代数式的因式分解方法

例如：

x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=x^4-2(y^2+z^2)x+y^4+z^4-2y^2z^2

=x^4-2(y^2+z^2)x+y^4+z^4+2y^2z^2-4y^2z^2

=x^4-2(y^2+z^2)x^2+(y^2+z^2)^2-4y^2z^2

=[x^2-(y^2+z^2)]^2-(2yz)^2

=[x^2-(y^2+z^2)+2yz][x^2-(y^2+z^2)-2yz]

=[x^2-(y-z)^2][x^2-(y+z)^2]

=[x+(y-z)][x-(y-z)][x+(y+z)][x-(y+z)]

=(x+y-z)(x-y+z)(x+y+z)(x-y-z)

主元法 所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解。

较为简单的例用

1.因式分解 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.

分析：如果懂得因式定理的话，解此题自然会流畅很多，但是用主元法的话，也十分简便。

拆开原式,并按a的降幂排列得：

(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)^2+b(bc+c^2)

=(a+c)(b+c)(a+b)------------------------------【十字相乘法】

十字相乘图为

x--------------- b

(b+c)x -----bc+c^2

对于低次因式分解，主元法与十字相乘法的配合是卓有成效的。

2.因式分解16y+2x^2(y+1)^2+(y-1)^2x^4

分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。

原式=(y-1)^2x^2+2(y+1)^2x^2+16y---------------------【主元法】

=(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x+2)---------------------【十字相乘法】

十字相乘图为

(y-1)^2x ----8y

x ------------2

如果能很好地利用主元法，低次因式分解就不会太难了。

高难度的主元法例用

1.因式分解2x^3+6y^3+15z^3-9x^2y+7xy^2-x^2z-16xz^2-37y^2z+32yz^2+13xyz

分析：本题属于高难度因式分解中的中档题，如果不思索就上别的方法，就会处处碰壁。

1.原式=2x^3-(9y+z)x^2+(13yz+7y^2-16z^2)x+6y^3+15z^3-37y^2z+32yz---------------【主元法】

这样本题的条理就清晰多了，现抛开x,只看6y^3+15z^3-37y^2z+32yz,

这是一个2元三次因式分解，难度简单多了。

原式=6y^3-9zy^2-(28y^2z-32yz^2-15z^3)-------------------------【拆项法】

=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)

再代入原题目，接下来的工作就简单了。

由于......>>

问题二：什么叫因式分解?分解因式的方法有哪些? 定义：

把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。

方法：1．提公因式法。

2．公式法。

3．分组分解法。

4．凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]

5．组合分解法。

6．十字相乘法。

7．双十字相乘法。

8．配方法。

9．拆项补项法。

10．换元法。

11．长除法。

12．求根法。

13．图象法。

14．主元法。

15．待定系数法。

16．特殊值法。

17．因式定理法。

希望帮到你 望采纳 谢谢 加油

问题三：因式分解的方法 所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解!

例如：

x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=x^4-2(y^2+z^2)x+y^4+z^4-2y^2z^2

=x^4-2(y^2+z^2)x+y^4+z^4+2y^2z^2-4y^2z^2

=x^4-2(y^2+z^2)x^2+(y^2+z^2)^2-4y^2z^2

=[x^2-(y^2+z^2)]^2-(2yz)^2

=[x^2-(y^2+z^2)+2yz][x^2-(y^2+z^2)-2yz]

=[x^2-(y-z)^2][x^2-(y+z)^2]

=[x+(y-z)][x-(y-z)][x+(y+z)][x-(y+z)]

=(x+y-z)(x-y+z)(x+y+z)(x-y-z)

主元法 所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解。

较为简单的例用

1.因式分解 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.

分析：如果懂得因式定理的话，解此题自然会流畅很多，但是用主元法的话，也十分简便。

拆开原式,并按a的降幂排列得：

(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)^2+b(bc+c^2)

=(a+c)(b+c)(a+b)------------------------------【十字相乘法】

十字相乘图为

x--------------- b

(b+c)x -----bc+c^2

对于低次因式分解，主元法与十字相乘法的配合是卓有成效的。

2.因式分解16y+2x^2(y+1)^2+(y-1)^2x^4

分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。

原式=(y-1)^2x^2+2(y+1)^2x^2+16y---------------------【主元法】

=(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x+2)---------------------【十字相乘法】

十字相乘图为

(y-1)^2x ----8y

x ------------2

如果能很好地利用主元法，低次因式分解就不会太难了。

高难度的主元法例用

1.因式分解2x^3+6y^3+15z^3-9x^2y+7xy^2-x^2z-16xz^2-37y^2z+32yz^2+13xyz

分析：本题属于高难度因式分解中的中档题，如果不思索就上别的方法，就会处处碰壁。

1.原式=2x^3-(9y+z)x^2+(13yz+7y^2-16z^2)x+6y^3+15z^3-37y^2z+32yz---------------【主元法】

这样本题的条理就清晰多了，现抛开x,只看6y^3+15z^3-37y^2z+32yz,

这是一个2元三次因式分解，难度简单多了。

原式=6y^3-9zy^2-(28y^2z-32yz^2-15z^3)-------------------------【拆项法】

=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)

再代入原题目，接下来的工作就简单了。

由于......>>

问题四：求因式分解的所有方法和技巧 因式分解

因式分解（factorization）

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．

⑴提公因式法

①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数的. 如果多项式的项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的项的系数是正的.

⑵运用公式法

①平方公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)

②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)

⑶分组分解法

分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.

分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.

⑷拆项、补项法

拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.

⑸十字相乘法

①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么

kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）

a -----/b ac＝k bd＝n

c /-----d ad＋bc＝m

※ 多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^......>>

问题五：因式分解十字交叉法的方法 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

例如:

例1把m2+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12弗以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题

解：因为 1 -2

1 6

所以m2+4m-12=（m-2）（m+6）

例2把5x2+6x-8分解因式

分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题

解： 因为 1 2

5 -4

所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4）

例3解方程x2-8x+15=0

分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。

解： 因为 1 -3

1 -5

所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0

所以x1=3 x2=5

例4、解方程 6x2-5x-25=0

分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。

解： 因为 2 -5

3 5

所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0

所以 x1=5/2 x2=-5/3

高等代数理论基础6：因式分解定理

定义：若对 ,p(x)不能表成数域P上两个次数比p(x)次数低的多项式的乘积则称p(x)为域P上的不可约多项式

注：

1.一次多项式总是不可约多项式

2.一个多项式是否可约依赖于系数域

性质：

1.不可约多项式p(x)的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 两种

具有性质1的次数 的多项式一定不可约

2.不可约多项式p(x)与任一多项式f(x)之间或 ,或

定理：给定不可约多项式p(x), ,

证明：

定理推广(利用数学归纳法)：给定不可约多项式p(x), ,则p(x)整除 中的一个

定理：数域P上每一个次数 的多项式f(x)都可以分解成数域P上一些不可约多项式的乘积,且分解式

证明：

根据标准分解式可直接写出公因式：

多项式f(x)与g(x)的公因式d(x)即同时在f(x)与g(x)的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带方幂的指数取它在f(x)与g(x)中较小的一个

因式分解的定义和方法

1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。

2、方法：

1．提公因式法。2．公式法。3．分组分解法。4．凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]5．组合分解法。6．十字相乘法。7．双十字相乘法。8．配方法。9．拆项补项法。10．换元法。11．长除法。12．求根法。13．图象法。14．主元法。15．待定系数法。16．特殊值法。17．因式定理法。

高中数学因式分解的方法与技巧

高中数学因式分解的方法与技巧

01因式分解的重要意义

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种式子变形叫作这个多项式的因式分解。因式分解是初中代数最重要的知识点之一，它上承代数式，下启方程与函数。甚至可以这么说，初高中代数需要掌握的解题技巧，在因式分解的解题技巧中都有。

同时，因式分解也是初高中数学衔接课中最重要的知识点之一，它是高中数学的重要基础！但是只有部分优质高中会开设初高中衔接课，大多数高中都默认学生在初中已经熟练掌握了代数基础。因此，初中生强化因式分解的学习则更加有必要。

02因式分解技巧

代数中所有的问题归根到底就是两个问题：降次与消元。因式分解就是“降次”最重要的工具，没有之一。因此，因式分解的技巧是很丰富的，也充满竞技性和趣味性的。

因式分解的基本技巧主要有三个：提取公因式、公式法、十（双）字相乘法；高阶技巧主要有三个：因式定理法、待定系数法、轮换对称法。这两类技巧主要分别用于处理二次多项式的分解和高次多项式（三次及以上）的分解。

进阶技巧主要有三个：分组分解（添拆项）、换元法、主元法，这三个技巧的技巧性很强，并且一般不能直接分解因式，而是用于辅助前两类分解技巧进行因式分解。

因式分解是什么意思

关于因式分解是什么意思如下：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也就是把这个多项式分解因式。

判断是否为因式分解，先看等式右边是否是乘积的形式； 因式分解常用的方法有提取公因式，十字相乘，公式法等.

把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。

学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。

分解因式为整式乘法的逆过程。高级结论：在高等代数上，因式分解有一些重要结论，在初等代数层面上证明很困难，但是理解很容易。

因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。

在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。

对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。

所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。

这看起来或许有点不可思议。比如x4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。

(这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。)

因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。

标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。因式分解是很困难的，初中所接触的只是因式分解很简单的一部分。

因式分解的方法

所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解!

例如：

x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=x^4-2(y^2+z^2)x+y^4+z^4-2y^2z^2

=x^4-2(y^2+z^2)x+y^4+z^4+2y^2z^2-4y^2z^2

=x^4-2(y^2+z^2)x^2+(y^2+z^2)^2-4y^2z^2

=[x^2-(y^2+z^2)]^2-(2yz)^2

=[x^2-(y^2+z^2)+2yz][x^2-(y^2+z^2)-2yz]

=[x^2-(y-z)^2][x^2-(y+z)^2]

=[x+(y-z)][x-(y-z)][x+(y+z)][x-(y+z)]

=(x+y-z)(x-y+z)(x+y+z)(x-y-z)

主元法 所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解。

较为简单的例用

1.因式分解 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.

分析：如果懂得因式定理的话，解此题自然会流畅很多，但是用主元法的话，也十分简便。

拆开原式,并按a的降幂排列得：

(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)^2+b(bc+c^2)

=(a+c)(b+c)(a+b)------------------------------【十字相乘法】

十字相乘图为

x--------------- b

(b+c)x -----bc+c^2

对于低次因式分解，主元法与十字相乘法的配合是卓有成效的。

2.因式分解16y+2x^2(y+1)^2+(y-1)^2x^4

分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。

原式=(y-1)^2x^2+2(y+1)^2x^2+16y---------------------【主元法】

=(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x+2)---------------------【十字相乘法】

十字相乘图为

(y-1)^2x ----8y

x ------------2

如果能很好地利用主元法，低次因式分解就不会太难了。

高难度的主元法例用

1.因式分解2x^3+6y^3+15z^3-9x^2y+7xy^2-x^2z-16xz^2-37y^2z+32yz^2+13xyz

分析：本题属于高难度因式分解中的中档题，如果不思索就上别的方法，就会处处碰壁。

1.原式=2x^3-(9y+z)x^2+(13yz+7y^2-16z^2)x+6y^3+15z^3-37y^2z+32yz---------------【主元法】

这样本题的条理就清晰多了，现抛开x,只看6y^3+15z^3-37y^2z+32yz,

这是一个2元三次因式分解，难度简单多了。

原式=6y^3-9zy^2-(28y^2z-32yz^2-15z^3)-------------------------【拆项法】

=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)

再代入原题目，接下来的工作就简单了。

由于首项x系数为2，所以本题难度综合来讲不是太难，算出系数2是与(y-5z)结合的。

所以原式=(x-2y+3z)(2x+y-5z)(x-3y-z)------------------------【拆项法及十字相乘法】

接下来的部分，有兴趣的人可以看看。

旷世难题型的因式分解

竞赛类的学生，因式分解的高手可以演算一下,这是个很好的练习,对你们会很有帮助。

因式分解：

6x^4+18mx^3-6x^3y+30x^2yz-42x^2y^2+6mx^2y-6x^2mz-6x^2z+12x^2m^2+5px^3+5yx^3+15pm-5py+25pyz+25y^2z-30py^2-30y^3+5mpy+5my^2-5pmz-5myz-5pz^2-5yz^2+10pm^2+10m^2y+10yzx^2+30myzx-10xy^2z+50y^2z^2-60y^3z+10my^2z-

10myz^2-10yz^3+20m^2yz-18my^2x+6xy^3-30y^3z+36y^4-6my^3+6my^2z+6y^2z^2-12y^2m^2+10x^2zp+30zpmx-10zpyx

+50yz^2p-60y^2zp-2zpmy-10z^2pm-10z^-12x^2zp-36mypx+12y^2px-60y^2pz+72y^-12my^2p+12ypmz+12ypz^2-24m^2yp-6p^2x^2-18mxp^2+6xyp^2-30yzp^2+36p^2y^2-6myp^2+6p^2mz+6p^2z^2-12P^2m^2+24x^2z^2+72mz^2x-24yz^2+120yz^3-144y^2z^2+24myz^2-24mz^3+24z^4+48m^2z^2

终于，在其他方法都几乎失效时，主元法的威力体现了出来。

分析：看题目的确很长，但仔细观察也能发现其弱点。

1.没有常数项。

2.首项x的系数很小，预计其能分解成(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)的形式。

3.自开始起，一部分是6的倍数，紧接着是5的倍数，直到至-2zpmy这一项时，这个特点断掉了。

解题开始：

令x,y,z,p都为0，原式变成了--------2m^2

令x,y为0，原式变成了---------------12p^2m^2

令x为0，原式=-12y^3............................+12p^2m^2,此时正是用主元法的时候，

解得原式=(3y+4z+)(-2y+6z-2p)(2y-z+m)(-3y+z+2m)-----【主元法，拆项法，十字相乘法，提取公因式法】

解下来抱歉的是本人实在无能为力，通过把上述的四项依次填入(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)中，实际上还是要用主元法，

原式=(2x+3y+4z+)(3x-2y+6z-2p)(x+2y-z+m)(x-3y+z+2m)

对于这题，硬碰硬是不行的。