三角形重心有什么性质 三角形重心有什么性质高中

三角形的重心是指什么？

三角形重心是三条中线的三等分点，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

重心是三角形中线的交点

三角形重心有什么性质 三角形重心有什么性质高中

三角形重心有什么性质 三角形重心有什么性质高中

三角形ABC中BD和CE分别是中线，相交于F

重心的性质及证明方法即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1

扩展资料：

三角形重心定理的性质：

1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

5、三角形重心是三角形三条中线的交点,当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

参考资料来源：

三角形三心定义及性质是什么？

所以DF:FB=DE:BC=1:2

（一）重心的性质：

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(x1+x2+x3)/3

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

（二）外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

（三）垂心的性质：

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体的组合，这些形体的重心通常是已知的或易求的。

2，负面积法

3，实验法（平衡法）

如物体的形状不是由基本形体旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。组成，过于复杂或质量分布不均匀，其重心常用实验方法来确定。主要包括悬挂法和称重法。

三角形的内心、重心，垂心的性质(越多越好)

内心三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。。：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

性质：到三个顶点距离相等。

性质：此点分每条高线的两部分乘积

1，组合法旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点

性质：到三边的距离相等。

性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。

欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

三角形的外心、内心、重心、垂心各是什么，有什么性质？

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

三角形共有五心：

垂心：在一个三角形中，三条边上的高（或其延长线）交于一点，该点叫做这一三角形的垂心。

垂心是三角形三条高的交点

内心是三角形三条内角平分线的交点 即内接圆的圆心

旁心,是三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点

正三角形中,中心和重心,垂心,内心,外心重合!

垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

性质：到三个顶点距离相等。

性质：此点分每条高线的两部分乘积

旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点

性质：到三边的距离纵坐标：(y1+y2+y3)/3相等。

性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。

欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

垂直平分线的交点

角平分线的交点

中线的交点

重心的性质及证明

直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清。

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.三角形ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G.过E作EH平行BF.AE=BE推出AH=HF=1/2AF AF=CF 推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.证明方法：在▲ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分别为a高线的交点、b、c边上的中线根据重心性质知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上高h1,h可知h1=1/3h 则,S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC),S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以,S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB) 3、重心到三角形3个顶点距离的和最小.(等边三角形） 证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x,y） 则该点到三顶点距离和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时 上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论.4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积的点.

作业

2021考研数3、性质不同学三角形重心性质的证明

三角形的中心，重心，内心，外心有什么区别

2、三角形的重心：三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。重心分中线比为1：2。

3、三角形的内心：三条角平分线的交点,是三重心：三条中线的交点。角形的内切圆的圆心的简称。到三边距离相等。

4、三角形的外心：三条中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称。到三顶点距离相等。

扩展资料：

一、三角形的五心：三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的

二、三角形五心歌（重外垂内旁）

三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混。

1、重 心

三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好。

2、外 心

三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点。

3、垂 心

三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整，

4、内 心

三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；

点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然。重心确定方法

五心性质别记混，做起题来真是好。

参考资料：

三角形的中线有哪些性质呢？

外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 即外接圆的圆心

1、三角形的三条中连接DE，因为DE是中位线线都在三角形内。

2、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的1/2。

4、三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4；5、三角形重心将中线分为长度比为1:2的两条线段。

中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段。

三角形的三条中线总是相交于同一点，这个点称为三角形的重心，重1）任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。心分中线为2：1（顶点到重心：重心到对边中点）。

中线的性质：

1、任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。

2、三角形中中线的交点为重心，重心分中线为2：1（顶点到重心：重心到对边中点）。

3、在一个直角三角形中，直角所对应的边上的中线为斜边的一半。

中线的做用：

1、中线的作用在于当负载不对称时，保证各相电压仍然对称，都能正常工作；如果一相发生断线，也只影响本相负载，而不影响其它两相负载。

3、是平分对边，还可以把三角形分为面积相等的两部分，用来求证全等三角形，三角形的中线是连接三角形的一个顶点及对边的线段，一个三角形有3条中线。

三角形 重心是什么

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

重心是三角形三边中线的交点，重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

重如果在规则形体上切去一部分，例如钻一个孔等，则在求这类形体的重心时，可以认为原形体是完整的，只是把切去的部分视为负值（负体积或负面积）。 心

三条中线定相交，交点位置真奇巧，

交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓；

长短之比二比一，灵活运用掌握好

重 5、三角形内到三边距离之积的点心

三条中线定相交，交点位置真奇巧，

交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓；

长短之比二比一，灵活运用掌握好．

三角形的重心，外心，内心，垂心有什么特点

重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

重心是三角形三边中线的交点

三角形只有五种心

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1

此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键。

在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均

三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

锐角三角形垂心在三角形内部。

直角三角形垂心在三角形直角顶点。

钝角三角形垂心在三角形外部。

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心到三边距离相等（为内切圆半径）

若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。

双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

到外心到三角形的三个顶点距离相等