vector合并 vectornator合并图形

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1、支持向量机原理SVM支持向量机（support vector machines, SVM）是一种二分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔的线性分类器，间隔使它有别于感知机；SVM还包括核技巧，这使它成为实质上的非线性分类器。

2、SVM的的学习策略就是间隔化，可形式化为一个求解凸二次规划的问题，也等价于正则化的合页损失函数的最小化问题。

3、SVM的的学习算法就是求解凸二次规划的化算法。

4、SVM算法原理SVM学习的基本想法是求解能够正确划分训练数据集并且几何间隔的分离超平面。

5、如下图所示， boldsymbol{w}cdot x+b=0 即为分离超平面，对于线性可分的数据集来说，这样的超平面有无穷多个（即感知机），但是几何间隔的分离超平面却是的。

6、在推导之前，先给出一些定义。

7、设给定一个特征空间上的训练数据集T=left{ left( boldsymbol{x}_1,y_1 right) ,left( boldsymbol{x}_2,y_2 right) ,...,left( boldsymbol{x}_N,y_N rig11、在Excel中添加多个视图ht) right}其中， boldsymbol{x}_iin mathbb{R}^n ， y_iin left{ +1,-1 right} ,i=1,2,...N ， x_i 为第 i 个特征向量， y_i 为类标记，当它等于+1时为正例；为-1时为负例。

8、再设训练数据集是线性可分的。

9、几何间隔：对于给定的数据集 T 和超平面 wcdot x+b=0 ，定义超平面关于样本点 left( x_i,y_i right) 的几何间隔为gamma _i=y_ileft( frac{boldsymbol{w}}{lVert boldsymbol{w} rVert}cdot boldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}+frac{b}{lVert boldsymbol{w} rVert} right)超平面关于所有样本点的几何间隔的最小值为gamma =underset{i=1,2...,N}{AC列显示了一个简单的SKU（库存单位）数据库及其说明和价格。

10、min}gamma _i实际上这个距离就是我们所谓的支持向量到超平面的距离。

11、根据以上定义，SVM模型的求解分割超平面问题可以表示为以下约束化问题underset{boldsymbol{w,}b}{max} gammas.t. y_ileft( frac{boldsymbol{w}}{lVert boldsymbol{w} rVert}cdot boldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}+frac{b}{lVert boldsymbol{w} rVert} right) ge gamma ,i=1,2,...,N将约束条件两边同时除以 gamma ，得到y_ileft( frac{boldsymbol{w}}{lVert boldsymbol{w} rVert gamma}cdot boldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}+frac{b}{lVert boldsymbol{w} rVert gamma} right) ge 1因为 lVert boldsymbol{w} rVert text{，}gamma 都是标量，所以为了表达式简洁起见，令boldsymbol{w}=frac{boldsymbol{w}}{lVert boldsymbol{w} rVert gamma}b=frac{b}{lVert boldsymbol{w} rVert gamma}得到y_ileft( boldsymbol{w}cdot boldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}+b right) ge 1, i=1,2,...,N又因为化 gamma ，等价于化 frac{1}{lVert boldsymbol{w} rVert} ，也就等价于最小化 frac{1}{2}lVert boldsymbol{w} rVert ^2 （ frac{1}{2} 是为了后面求导以后形式简洁，不影响结果），因此SVM模型的求解分割超平面问题又可以表示为以下约束化问题underset{boldsymbol{w,}b}{min} frac{1}{2}lVert boldsymbol{w} rVert ^2s.t. y_ileft( boldsymbol{w}cdot boldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}+b right) ge 1, i=1,2,...,N这是一个含有不等式约束的凸二次规划问题，可以对其使用拉格朗日乘子法得到其对偶问题（dual problem）。

12、首先，我们将有约束的原始目标函数转换为无约束的新构造的拉格朗日目标函数Lleft( boldsymbol{w,}b,boldsymbol{alpha } right) =frac{1}{2}lVert boldsymbol{w} rVert ^2-sum_{i=1}^N{alpha _ileft( y_ileft( boldsymbol{w}cdot boldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}+b right) -1 right)}其中 alpha _i 为拉格朗日乘子，且 alpha _ige 0 。

13、现在我们令当样本点不满足约束条件时，即在可行解区域外：y_ileft( boldsymbol{w}cdot boldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}+b right) 此时，将 alpha _i 设置为无穷大，则 theta left( boldsymbol{w} right) 也为无穷大。

14、当满本点满足约束条件时，即在可行解区域内：y_ileft( boldsymbol{w}cdot boldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}+b right) ge 1此时， theta left( boldsymbol{w} right) 为原函数本身。

15、于是，将两种情况合并起来就可以得到我们新的目标函数theta left( boldsymbol{w} right) =begin{cases} frac{1}{2}lVert boldsymbol{w} rVert ^2 ,boldsymbol{x}in text{可行区域} +infty ,boldsymbol{x}in text{不可行区域} end{cases}于是原约束问题就等价于underset{boldsymbol{w,}b}{min} theta left( boldsymbol{w} right) =underset{boldsymbol{w,}b}{min}underset{alpha _ige 0}{max} Lleft( boldsymbol{w,}b,boldsymbol{alpha } right) =p^看一下我们的新目标函数，先求值，再求最小值。

16、这样的话，我们首先就要面对带有需要求解的参数 boldsymbol{w} 和 b 的方程，而 alpha _i 又是不等式约束，这个求解过程不好做。

17、所以，我们需要使用拉格朗日函数对偶性，将最小和的位置交换一下，这样就变成了：underset{alpha _ige 0}{max}underset{boldsymbol{w,}b}{min} Lleft( boldsymbol{w,}b,boldsymbol{alpha } right) =d^要有 p^=d^ ，需要满足两个条件：① 优化问题是凸优化问题② 满足KKT条件begin{cases} alpha _ige 0 y_ileft( boldsymbol{w}_{boldsymbol{i}}cdot boldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}+b right) -1ge 0 alpha _ileft( y_ileft( boldsymbol{w}_{boldsymbol{i}}cdot boldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}+b right) -1 right) =0 end{cases}为了得到求解对偶问题的具体形式，令 Lleft( boldsymbol{w,}b,boldsymbol{alpha } right) 对 boldsymbol{w} 和 b 的偏导为0，可得boldsymbol{w}=sum_{i=1}^N{alpha _iy_iboldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}}sum_{i=1}^N{alpha _iy_i}=0将以上两个等式带入拉格朗日目标函数，消去 boldsymbol{w} 和 b ， 得Lleft( boldsymbol{w,}b,boldsymbol{alpha } right) =frac{1}{2}sum_{i=1}^N{sum_{j=1}^N{alpha _ialpha _jy_iy_jleft( boldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}cdot boldsymbol{x}_{boldsymbol{j}} right)}}-sum_{i=1}^N{alpha _iy_ileft( left( sum_{j=1}^N{alpha _jy_jboldsymbol{x}_{boldsymbol{j}}} right) cdot boldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}+b right) +}sum_{i=1}^N{alpha _i} =-frac{1}{2}sum_{i=1}^N{sum_{j=1}^N{alpha _ialpha _jy_iy_jleft( boldsymbol{x}_{boldsymbol{i}}cdot boldsymbol{x}_{boldsymbol{j}} right)}}+sum_{i=1}^N{alpha _i}即underset{boldsymbol{w,}b}{min} Lleft( boldsymbol{w,}b,boldsymbol{alpha } right) =-frac{1}{2}sum_{i=1}^N{sum_{j=1}^N{alpha _ial。

本文到这结束，希望上面文章对大家有所帮助。