勾股定理的证明 勾股定理的证明方法最简单的6种

世界上证明勾股定理的人是谁？

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

在我国，明确地证明勾股定理的人，是三国时期的数学家赵爽。

勾股定理的证明 勾股定理的证明方法最简单的6种

勾股定理的证明 勾股定理的证明方法最简单的6种

勾股定理的证明 勾股定理的证明方法最简单的6种

赵爽的证法很有特色。首先，他作4个同样大小的直角三角形，将它们拼成设定的形状，然后再着手计算整个图形的面积。显然，整个图形是一个正方形，它的边长是C，面积为C2。另一方面，整个图形又可以看作是4个三角形与1个小正方形面积的和。4个三角形的总面积是2ab，中间那个小正方形的面积是（b－a）2，它们的和是2ab＋（b－a）2＝a2＋b2。比较这两种方法算出的结果，就有，

a2＋b2＝c2。

赵爽的证法鲜明地体现了我国古代证题术的特色。这就是先对图形进行移、合、拼、补，然后再通过代数运算得出几何问题的证明。这种方法融几何代数于一体，不仅严谨，而且直观，显示出与古代西方数学完全不同的风格。

比赵爽稍晚几年，我国数学家刘徽发明了一种更巧妙的证法。在刘徽的证法里，已经用不着进行代数运算了。

于是，刘徽首先作出两条直角边上的正方形，他把由一条直角边形成的正方形叫做“朱方”，把由另一条直角边形成的正方形叫做“青方”，然后把图中标注有“出”的那部分图形，移到标注有“入”的那些位置，就拼成了图中斜置的那个正方形。刘徽把斜置的那个正方形叫做“弦方”，它正好是由直角三角形斜边形成的一个正方形。

经过这样一番移、合、拼、补，自然而然地得出结论：

朱方十青方＝弦方。

即a2＋b2＝c∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，2。

我国数学家华罗庚认为，无论是在哪个星球上，数学都是一切有智慧生物的共同语言。如果人类要与其他星球上的高级生物交流信息，是送去几个数学图形。其中，华罗庚特别了这幅“青朱出入图”。

我们深信，如果外星人真的见到了这幅图，一定很快就会明白：地球上生活着具有高度智慧和文明的友邻，那里的人们不仅懂得“数形关系”，而且还善于几何证明。

勾股定理的证明

例如：勾三股四弦五

勾股定理:

直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方

从直角向斜边作高,三个三角形相似,对应边成比例,可得出.

两直角边的平方之和等于斜边的平方

用面积证明试试吧...我记不清楚了...

伽菲尔德怎样证明勾股定理（要图）

图1 直11、证法十一（利用切割线定理证明）；角三角形

【证法1】（梅文鼎证明）作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°即 ∠CBD= 90°又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2【证法2】（项明达证明）作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2【证法3】（赵浩杰证明）作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,∴∠ABG +∠CBJ= 90°,∵∠ABC= 90°,∴G,B,I,J在同一直线上，所以a^2+b^2=c^2【证法4】（欧几里得证明）作三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ 即a的平方+b的平方=c的平方【证法5】欧几里得的证法在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。其证明如下：设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

勾股定理的10种证明方法 常见勾股定理证明方法

“青朱出入图”，这是一幅多么神奇的图啊！甚至不用去标注任何文字，只要相应地涂上朱、青两种颜色，也能把蕴含于勾股定理中的数学真理，清晰地展示在世人面前。

勾股定理是我们初中学习数学几何的基础，为了更好的学习勾股定理的证明奠定基础。我整理了《勾股定理的10种证明方法 常见勾股定理证明方法》，希望能为大家学习提供更多的方便！

勾股定理的10种证明方法：课本上的证明

勾股定理的10种证明方法：邹元治证明

勾股定理的10种证明方法：赵爽证明

勾股定理的10种证明方法：1876年美国Garfield证明

勾股定理的10种证明方法：项明达证明

勾股定理的10种c=（a2+b2）(1/2)证明方法：欧几里得证明

勾股定理的10种证明方法：杨作玫证明

勾股定理的10种证明方法：切割定理证明

勾股定理的10种证明方法：直角三角形内切圆证明

勾股定理的10种证明方法：反证法证明

勾股定理的证明方法

所以c^2-a^2-b^2+2ab=2ab

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。 过点C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形。

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

∴ BDPC是一个边长为a的正方形。

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

刘徽想：直角三角形3条边的平方，可以看作3个不全相等的正方形，这样，要证明勾股定理，就可以理解为要证明：两条直角边上的正方形面积之和，等于斜边上正方形的面积。A^2+B^2=C^2

求勾股定理的证明方法

抱歉图给不了了，拜托自己画了，我尽量讲清楚点

证明方法可以给一个：

设两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2化简整理得a2＋b2＝c2直角三角形边长a

把四个一样大小的直角三角形拼起来，拼成一个正方形（斜边作为正方形的边，拼出来有点像风车），这时候，中间自然会有一个小正方形的空缺，这个小正方形的边长也很容易求出，是b-a

c^2=a^2+b^2

最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，我们

用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：

勾2+证法2股2=弦2

亦即：

a2+b2=c2

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为：

弦=（勾2+股2）(1/2)

亦即：

古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化简后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

图2 勾股圆方图

古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代数学家吴文俊所说：“在的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”

这上有，很全，你看看

勾股定理逆命题的证明方法

商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”下面用构造法证明

解：已知：△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b，且满足a2+b2=c2，证明∠C=90°.

构造一个直角△A'B'C'，如上图，使得∠C'=90°，a'=a，b'=b，

那么，根据勾股定理，c'2=a'2+b'2=a2+b2=c2，

∴c'=c，

在△ABC和△A'B'C'中，

a=a'

b=b'

c3、关键点 灵活运用勾股定理及其逆定理进行证题和计算=c'，

∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)，

∠C=∠C'=90°.全等三角形的对应角相等。

勾股定理的证明方法 只需3步即可做出证明

世界上证明勾股定理的人，是古希腊数学家毕达哥拉斯，但谁也未见过他的证法。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得，他的证法采用演绎推理的形式，记载在世界上数学名著《几何原本》里。

勾股定理的证明方法如下：

周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”

1、以a b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2分之一ab。

2、AEB三点在一条直线上，BFC三点在一条直线上，CGD三点在一条直线上。

3、证明四边形EFGH是一个边长为c的正方形后即可推出勾股定理。

赵爽弦图怎么证明勾股定理

13、证法十二（利用多列米定理证明）；

赵爽弦图证明勾三、方法技巧股定理

赵爽弦图是用四个全等的直角三角形围成一个边长为c的正方形，在图中间有一个边长为b–a的小正方形，这样就可以证明勾股定理了。

边长为c的正方形面积S=c^2=1/2ab·4+(b-a)^2，

所以 c^2=2ab+a^2+b^2-2ab，

所以 c^2=a^2+b^2，定理得证。

再在正方形c的外面拼接四个一样的全等直角三角形，就有一个边长a+b的正方形如图，也可以证明勾股定理。

所以 c^2=a^2+b^2。定理得证。

也可以用邹元治的方法证明，即：a+b的正方形的面积S=(a+b)^2=c^2+1/2ab·4

所以，a^2+b^2+2ab=c^2+2ab，得：a^2+b^2=c^2，定理得证。

如何证明勾股定理

BC =13、证法十二（利用多列米定理证明）； BD = a.

证法1

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即证法3

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°, ∴G,B,I,J在同一直线上，

证法4

作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

可由这两个图得