三角形外心的性质 三角形外心的性质是什么

三角形四心的定义及性质

1.垂心

重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。距离的2倍。该点叫做三角形的重心。

三角形外心的性质 三角形外心的性质是什么

三角形外心的性质 三角形外心的性质是什么

三角形外心的性质 三角形外心的性质是什么

外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

垂心：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。

内心：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。

请问三角形的中心、重心、垂心、外心、内心各是什么意思？

性质：到三边的距离相等。

正三角形的重心、垂心、外心、内心重合的点叫中心

一个物体的各部分都要受到重力的作用。从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。

重心的几条性质：

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(x1+x2+x3)/3

纵坐标：(y1+y2+y3)/3

竖坐标：（z1+z2+z3）/3

5、三角形内到三边距离之积的点

三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

锐角三角形垂心垂心和旁心的性质在三角形内部。

直角三角形垂心在三角形直角顶点。

钝角三角形垂心在三角形外部。

垂心是高线的交点

垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。

三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的的二分之一。

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

三角形的中心，重心，垂心，内心，外心。五心的定义和性质是什么

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

重心，是三边上的中线的交点

内心，是三个内角的平分线的交点

垂心，是三边上的高线的交点

外心，是三边的垂直平分线的交点

三角形的五心

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，上述交点叫做三角形的重心，上述定理为重心定理。

外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心。

垂心定理 三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心。

内心定理 三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心。

旁心定理 三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。

可以根据这些“心”的定义，得到很多重要的性质：

（2）外心扫三顶点的距离相等；

（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；

（4）内心、旁心到三边距离相等；

（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

（7）中心也是中点三角形的重心；

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

对于三角形“五心”的理解，希望你先理解书本上的定义和定理，然后在练习的过程中训练根据定义找特点的思维习惯，自己多总结，逐渐提高解决复杂几何题的能力

三角形外心性质什么占3分之2？

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外心到顶点的距离，等于整条垂线的3分之2。等边三角形内心，外心，重心，垂心，四心合一。它的外心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍。三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

注意到外心到三角形的三个顶点距离相a等，结合垂直平分线性质，外心定理其实极好证。

三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。三角形外心O、重心G和垂心H三点共线。垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。垂心分每条高线的两部分乘积相等。

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。每个三角形都有三个旁心。旁心到三边的距离相等。

三角形外接圆的圆心是三角形的什么心

三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心.

三角形外接圆圆心叫外心。

外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。

扩展资料与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。

三角形有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。 三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点。 三角形外接圆圆心叫外心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。

参考资料

是三角形的外心。

外心是一个数学名词。是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

性质1：锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； 钝角三角形的外心在三角形外。

性质2：三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心，外心到三顶点的距离相等。

性质3：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件(向量GA+向量GB)，向量AB= (向量GB+向量GC)，向量BC=(向量GC+向量GA)，向量CA=向量0。

三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心。

与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。

参考资料：

三角形外接圆圆心叫外心。

与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。

扩展资料

外接圆性质

1、锐角三角形外心在三角形内部。

2、直角三角形外心在三角形斜边中点。

3、钝角三角形外心在三角形外。

4、有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）

5、外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等。

6、过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形）也可能在三角形边上（如直角三角形）。

7、过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆）。

外心。

三角形共有五心：

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

性质：到三边距离相等。

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

性质：到三个顶点距离相等。

重心：三条中线的交点。

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

垂心：三条高所在直线的交点。

性质：此点分每条高线的两部分乘积

旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点

6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。

（2）外心扫三顶点的距离相等；

（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；

（4）内心、旁心到三边距离相等；

（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

（7）中心也是中点三角形的重心；

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心

是外心。外心数学名词。只三角形三条边的垂直平分线的线交点，用这个店做圆形可以画出三角形的外接圆，只三角形外接圆的圆心一般角三角形的外心

三角形外接圆的圆心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，所以是三角形的外心

是外心

外心：数学名词。指三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

三角形的外接圆的圆心，即边的垂直平分线的交点，称为三角形的外心。

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

等边三角形外心性质与结论

三角形有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。 三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点。

等边三角形的中心=外心=内心=垂心

中心为正多边形的中间点外心定理：外心到三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC，其中A、B、C表示三角形的顶点。

垂心为高的交点

外心为各边垂直平分线的交点

三角形重心有什么性质？

（6）外心是中点三角形的垂心；

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

扩展资料：

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

5、三角形内到三边距离之积的点。

三角形重心是三角形三条中线的交点。

性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

性质二、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

性质三、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

性质四、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。

性质五、三角形内到三边距离之积的点。

性质六、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

性质七、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

关于重心的顺口溜：

三条中线必相交，交点命名为重心

三角形的五心之其他四心：

内心：三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心.(外接圆的圆心)

外心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

旁心： 三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

三角形重心的性质如下

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

5、三角形内到三边距离之积的点。

三角形重心

数学几何术语

三角形重心是指几何数学中三角形三边中线的交点。 当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

中文名

三角形重心

centroid

定义

三角形三条中线的交点

性质比例

重心到顶点与到对边中点比为2：1

应用领域

几何

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三角形重心坐标公式

三角形三心

三角形垂心

最的数学定理

性质证明

三角形重心

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

三角形重心

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

过O，A分别作a边上高OH'，AH

则，S △BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S △ABC

同理可证S △AOC=1/3S △ABC

S △AOB=1/3S △ABC

所以，S △BOC=S △AOC=S △AOB

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

证法一：

设三角形三个顶点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一点为（x 0，y 0） 则该点到三顶点距离平方和为：

(x 1-x 0) 2+(y 1-y 0) 2+(x 2-x 0) 2+(y 2-y 0) 2+(x 3-x 0) 2+(y 3-y 0) 2

=3x 0 2-2x 0(x 1+x 2+x 3)+3y 0 2-2 0y(y 1+y 2+y 3)+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2

=3[x 0-1/3(x 1+x 2+x 3)] 2+3[y 0-1/3(y 1+y 2+y 3)] 2+x 1 2+x 2

重心是三角形三边中线的交点。

性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

重心坐标为三分之x1加x2加x33分之y1加y2加y3。

若三角形为三角形abco为重，心。则向量oa加向量ob加向量oc等于零向量。

请

重心是三角形三bai边中线的交点

外心的性质和定义

内心是三角形角平分线交点的原理：

外心是指三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。指三角形外接圆的圆心，一般叫三角形的外心。三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

证明

d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

设O是三角形ABC的外心则∠AOC=2∠ABC,∠AOB=2∠ACB

与多边三角形的重心：三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。重心分中线比为1：2。形各角都相交的圆叫做多边型的外接圆。

三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。

三角形的外接圆圆心是三条中垂线的交点，直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上。

三角形外接圆圆心叫外心。

有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）

性质1：锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； 钝角三角形的外心在三角形外。

性质2：三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心，外心到三顶点的距离相等。

性质3：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件：(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

1、内心

（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点或内切圆的圆心。

（2）三角形的内心的性质

①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心

②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

③s=(r是内切圆半径)

④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/2

2、外心

（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

（2）三角形的外心的性质

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、外心到三顶点的距离相等

3、重心

（11、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。）三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。（2）三角形的重心的性质

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积的点。

4、垂心

（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

（2）三角形的垂心的性质

①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外

②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心

③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上

三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

重心记忆口诀：

三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了。

外心记忆口诀：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点。

垂心记忆口诀：

角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整，

直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清.

内心记忆口诀：

三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；

点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．

请问重心，垂心，内心，外心有何区别？各有何性质？

重心:三角形三边中线的交点

垂心:三角形的三条高的交点

中心:正三角形的重心、垂（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；心、外心、内心重合的点

外心:三角形三条边的垂直平分线的交点,即外接圆的圆心

内心:三角形三条内角平分线的交点,即内切圆的圆心

三角形内心和外心有什么性质？

4.

三角形的内心是三个角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。它是三角形内切圆的圆心。

三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个角的距离相等，它是三角形外可知OH'=1/3AH接圆的圆心。