平面向量公式_平面向量公式垂直

平面向量的乘除运算的公式是什么？空间向量的乘除运算的公式是什么？

夹角为锐角时，cosθ>0；夹角为钝角时,cosθ<0.

平面向量分为数量积和向量积：数量积

平面向量公式_平面向量公式垂直

平面向量公式_平面向量公式垂直

向量a点乘向量b=ab乘以两者夹角的余弦值

向量积向量ax向量b=两者相乘在乘以两者夹角的正弦值

方向是垂直于这两个向量

空间向量乘法可以采用行列式求得

公式=/oa/./ob/.cosa

a为两向量的夹角2) 非0向量a，b垂直，即：a⊥b：根据向量数量积的公式：

结果是2乘1乘四分之一

=二分之下面证明垂直，垂直很简单，用数量积一

数学必修4平面向量公式总结

1．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。

平面向量是高中数学必修4新教材中新增加的重要内容之一，是高中学生需要学习的重要知识点。下面我给大家带来数学必修4平面向量公式 总结 ，希望对你有帮助。

(x1,y1）=入(x2,y2）=（入x2，入y2）

数学必修4平面向量公式

高中数学必修4平面向量知识点

坐标表示法

平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成 ，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。

向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.

向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行.

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b.零向量与零向量相等.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

向量的运算

1、向量的加法：

AB+B2、若向量用坐标表示，a=(x1,y1,z1), b=(x2,y2,z2),C=AC

设a=(x,y) b=(x',y')

则a+b=(x+x',y+y')

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质：

交换律：

a+b=b+a

结合律：

a+0=0+a=a

2、向量的减法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y')

若a//b

则a=eb

若a垂直b

则ab=0

则xx`+yy`=0

高中 数学 学习 方法

数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。

严防题海战术

做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。

归纳数学大思维

数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。在平时听课时，一个明知的学生，应该听老师对该题目的分析和归纳。但还有不少学生，不注意教师的分析，往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。听课是认真，但费力，听完后是满脑子的计算过程，支离破碎。老师的分析是学生思考，启发学生自己设计出处理这些问题的大策略、大思维。当教师解答习题时，学生要用自己的计算和推理已经知道老师要干什么。另外，当题目的给出时，并不代表问题的解答完毕，还要花一定的时间认真总结、归纳理解记忆。要把这些解题策略全部纳入自己的脑海成为地记忆，变为自己解决这一类型问题的 经验 和技能。同时也解决了学生中会听课而不会做题目的坏毛病。

积累考试经验

向量数量积公式是什么？

则xy`-x`y=0

向量的数量积公式：ab=|a||b|cosθ a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。

AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连终点、指被减。

一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积，前提始位置要相同。

向量的分解首先，由平面向量基本定理可知，平面中的任意向量都可表示成两个不共线向量的线性组合，也可以理解为任意比如向量a和向量b，那么cos=ab/|ab|.向量都可以分解成两个不共线的向量。垂直是一种特殊的不共线的位置关系，我们认为垂直的两个方向之间是互相不影响的。

因此我们经常选择互相垂直的两个单位向量作为基本向量，可以将任意一个向量表示成这两个向量的线性组合，这就是坐标表示平面向量的由来。因此我们经常会把向量在两个互相垂直的方向上进行分解。

设平面中有两个向量F、L，可将向量F分解成与向量L垂直的分量和与向量L共线的分量。有这么一种情况，当向量F在与向量L垂直方向的分量上不会对向量L产生作用，而在与向量L共线方向的分量才会对向量L产生作用。

例如力和位移是两个向量，力在与位移共线的方向上才会做功，与位移垂直的方向上不会做功，而且做的功为共线两个向量大小的乘积。

为了表示这种向量之间的互相作用，才有了向量数量积的定义，数量积的计算结果为一个向量与另一个向量在其方向分量的大小的乘积。

向量夹角公式

垂直：x1x2+y1y2=0

设a,b是两个不为0的向量，它们的夹角为 (或用α ,β, θ ,..,字母表示)

向量平行的公式为：a//b→a×b=xn-ym=0。

1、由向量公式：cos=a.b/|a||b|.①

|a|=√(x1^2+y1^2+z1^2), |b|=√(x2^2+y2^2+z2^2).

将这些代入②得到：

上述公式是以空间三维坐标给出的，令坐标中的z=0,则得平面向量的计算公式。

两个向量夹角的取值范围是：[0,π].

扩展资料在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。

为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量

。由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得

，因此把实数对

叫做向量

的坐标，记作

。这就是向量

就是点

参考资投影向量的公式|a|cosΘ。料：

向量投影的公式是什么？

则,a.b=(x1x2+y1y2+z1z2).

向量投影定理公式：|a|cosΘ。叫做向量a在向量b上的投影，向量a·向量b=|a||b|cosΘ，Θ为两向量夹角，|b|cosΘ叫做向量b变形得x1y2-x2y1=0在向量a上的投影。定理内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

2、平面向量数量积的两个几何意义，各自巧妙的揭示了内积运算的实质。两种理论相互交错，相互依存，共同构成了“利用几何意义理解平面向量数量积”完备的几何体系。深刻探究了内积运算与线性运算的区别与联系。

3、设向量a，b，夹角为W则向量a在向量b方向上的投影是a.b/|b| =|a|cosW投影公式，可以用来求点到直线的距离。特别是在空间向量中求点到面的距离。

向量的记法：

印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。

如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数[说明]对形式表示，例如xOy平面中（2，3）是一向量。

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。可以形象化地表示为带箭头的线段。

平面向量基本定理和公式

本学期每月初都有大的考试，加之每单元的单元测验和模拟考试有十几次，抓住这些机会，积累一定的考试经验，掌握一定的考试技巧，使自己应有的水平在考试中得到充分的发挥。其实，考试是单兵作战，它是考验一个人的承受能力、接受能力、解决问题等综合能力的战场。这些能力的只有在平时的考试中得到培养和训练。

坐标表示

∴向量a·向量b=0

在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。有平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

向量OP=xi+yj。

因此向量，a=xi+yj。

我们把实数（x，y）对叫做向量的坐标，记作：a=（x，y）。

显然，其中（x，y）就是点P的坐标。

向量OP称为点P的位置向量。

共面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在实数对x、y，使p=xa+yb。（x，y不全为零）

归纳反思

2．在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择两个不共线的向量 ，平面内的任何一个向量都可以表示，这样几何问题就可以转化为代数问题。

平面向量基本定理

如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。：存在实数对x、y，使p=xa+yb。事实上，这个定理表明，平面向量可以在任意给定的两个方向上分解，任意两个向量都可以合成一个给定的向量，即向量的合成和分解。

当两个方向相互垂直时，它们实际上是在直角坐标系中分解的，（x，y）称为矢量的坐标。（矢量的起点是原点）所以这个定理为矢量的坐标表示提供了理论基础。

向量平行公式

⑥零向量与任意向量的数量积为0。

向量垂直，平行的公式为：

设：a=(x1,y1) b=(x2,y2) 且a//b，那么有 λ ≠ 0，使得：a=λb，即

若a，b是两个向量：a＝（x，y）b＝（m，n）。

则a⊥b的充要条件是a·b=0，即(xm+yn)=0。

在数学中，向量，指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

几何表示

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

若向量a=(x,y) 向量b=(m,n)

a//b,则x=λm，y=λn

1、对于两个向量a（向量a≠向量0），向量b，当有一个实数λ，使

向量b=λ向量a（记住向量是有方向的）则向量a‖向量b

反之，当向量a‖向量b时，有且只有一个实数λ，能使向量b=λ向量a

2、当向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)时，

当x1y2=x2y1时，向的坐标，记作：量a‖向量b，反之也成立

若向量a=(x,y) 向量b=(m,n)平行

则 xn-ym=0

xn=ym

根号下A平方＋B平方＋C平方分之|D1-D2|,注意两平面的系数要一致才能用这个公式。

a=λb

画不了箭头

向量的数量积公式是什么？

已知三角形三边可以求任意一个角————用余弦定理

向量的数量积公式：ab=|a||b|cosθ a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。

来表示平面内的各个方向 在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向.在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用

一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积，前提始位置要相同。

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2

向量的数量积公式：ab=|a||b|cosθ,a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。 一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积，前提始位置要相同。

拓展资料

平面向量数量积

即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2

性质

设 a、b为非零向量，则

①设 e是单位向量，且 e与 a的夹角为θ，则 e·a= a·e=| a|| e|cosθ

② a⊥b= a·b=0

③当 a与 b同向时， a·b=| a|| b|；当 a与 b反向时， a·a=| a|= a或| a|=√ a·a

④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立

⑤cosθ=a·b╱|a||b|（θ为向量a.b的夹角）

运算

⑴交换律： a·b= b·a

⑵数乘结合律：（ λa）· b= λ（ a·b)= a·（ λb）

⑶分配律：（ a+b）· c= a·c+ b·c

几何意义

①一个向量在另一个向量方向上的投影

设θ是a、b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投 影。

② a·b的几何意义

数量积 a·b等于 a的长度| a|与 b在 a的方向上的投影| b|cosθ的乘积

★注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量。

③数量积 a·b的几何意义是： a的长度| a|与 b在 a的方向上的投影| b|cos θ的乘积。

求向量的模的方法

(2)几何法，利用向量的几何意义.

请点击输入描述

求向量模的的坐标表示。其中最值(范围)的方法：

代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；

(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.

平面向量a⊥b公式是什么？

即x1/x2=y1/y2=λ

向量a=(x1，y1)，向量b=(x2，y2)，若向量a与向量b平行，则平行公式为x1y2=x2y1；若向量a与向量b垂直，则垂直公式为x1x2+y1y2=0。

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减法

-(-a的坐标。向量)=a；a+(-a)=(-a)+a=0；a-b=a+(-b)。

数乘

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。

用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。

两个向量的夹角怎么算

共面向量

按以下公式求：cos s=向量a和向量b的内积/（向量a的长度与向量b的长度的积），s为向量a、b之间的夹角。如果是坐标形式；a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，ab=x1x2+y1y2，|a|=√(x1^2+y1^2)，|b|=√(x2^2+y2^2)，cos=[x1y1+x2y2] / [√(x1^2+y1^2)√(x2^2+y2^2)]

cos=(x1x2+y1y2+z1z2)/[√(x1^2+y1^2+z1^2)√(x2^2+y2^2+z2^2)] ---(公式Ⅱ).

知识拓展：

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。

向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 [1] 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

解：设a,b是两个不为0的向量，它们的夹角为 (或用α ,β, θ ,..,字母表示)

1. 由向量公式：cos=a.b/|a||b|. ---(公式Ⅰ)

2. 若向量用坐标表示，a=(x1,y1,z1), b=(x2,y2,z2),

|a|=√(x1^2+y1^2+z1^2), |b|=√(x2^2+y2^2+z2^2).

将这些代人公式(Ⅰ),得到：

上述公式是以空间三维坐标给出的，令坐标中的z=0,则得平面向量的计算公式。

两个向量夹角的取值范围是：[0,π].

设两个向量是a与b,夹角是θ则cosθ=(a,b的向量积)/(a的模b的模)然后由余弦值反求夹角θ。

如果是坐标形式；

a=(x1,y1)

b=(x2,y2)

ab=x1x2+y1y2

|a|=√(x1^2+y1^2)

|b|=√(x2^2+y2^2)

c如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在实数对x、y，使p=xa+yb。os=[x1y1+x2y2] / [√(x1^2+y1^2)√(x2^2+y2^2)]

向量A 点乘 向量B = A模 乘 B模 乘 cos(夹角)

两个向量的夹角例题解析一

向量垂直的坐标表示

为了简便，通常我们将系数x,y抽取出来，得到有序实数对（x,y）.可知有序实数对（x,y）与向量

的位置向量

是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y）表示向量

，并称（x,y(x1,y1)=λ(x2,y2) -> x1/x2=y1/y2=λ ，所以：x1y2=x2y1 ,即：x1y2-x2y1=0；）为向量

=（x,y）

（x,y）不仅是向量

的(a+b)+c=a+(b+c)坐标，而且也是与

相等的位置向量

的终点a的坐标！当将向量

的起点置于坐标原点时，其终点a的坐标是的，所以向量

的坐标也是的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.

若两个坐标已知，1、向量v在向量n上的投影为v'，v‘也是平行于n的向量。v·n=|v||n|cos(α)，cos(α)=|v'|/|v|·那么：v·n=|v||n||v'|/|v|·=|n||v'| 注意：点积只是一个数量。由v'/|v'|=n/|n|得到：v’=(|v'|/|n|)n，这里表示向量v'，注意是一个向量，所以两个式子当然不能相等。则横乘横加纵乘纵等于零