数学归纳法步骤 高中数学归纳法步骤

数学归纳法一步两项问题

用数学归纳法进行证明的步骤：

证明几何问题

数学归纳法步骤 高中数学归纳法步骤

数学归纳法步骤 高中数学归纳法步骤

用数学归纳法证明与自然数1.x2k-y2k能被x+y整除n有关的几何命题，由k过渡到k＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．

最=[9/(k+5)]/[3+3/(k+5)]重要的是，取n+1是得出和前一个n式子相似的n+1的式子

关于归纳法的小学奥数计算试题解题技巧

说明 数学归纳法的实质：“先归纳，后演绎”．即先以特殊情况下的结论为基础，提出归纳设，再从归纳设通过渲绎推理证明结论的正确性归纳法．

【篇一】

1.用数学归纳法证明"当n为正偶数为xn-yn能被x+y整除"步应验证n=__________时,命题成立;第二步归纳设成立应写成_____________________.

2.数学归纳法证明3能被14整除的过程中,当n=k+1时,3应变形为____________________.

3.数学归纳法证明1+3+设n为任意自然数n时,n^5+5n可以被6整除,当n增加1时,9+…+3

：

因为n为正偶数,故值n=2,第二步设n取第k个正偶数成立,即n=2k,故应设成x2k-y2k能被x+y整除.

2.25(34k+2+52k+1)+56·32k+2

当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=81·34k+2+25·52k+1=25(34k2+52k+1)+56·33k+2

3.证明(1)当n=1时,左=1,右=(31-1)=1,命题成立.

(2)设n=k时,命题成立,即:1+3+9+…3k-1=(3k-1),则当n=k+1时,1+3+9+…+3k-1+3k=(3k-1)+3k=(3k+1-1),即n=k+1命题成立.

4.证明(1)当n=1时,13+(1+1)3+(1+2)3=36能被9整除.

(2)设n=k时成立即:k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当k=n+1时

(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+9k+27=k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+k+3)能被9整除

由(1),(2)可知原命题成立.

【篇二】

归纳论证是一种由个别到一般的论证方法。它通过许多个别的事例或分论点，然后归纳出它们所共有的特性，从而得出一个一般性的结论。归纳法可以先举事例再归纳结论，也可以先提出结论再举例加以证明。前者即我们通常所说之归纳法，后者我们称为例证法。例证法就是一种用个别、典型的具体事例实证明论点的论证方法。归纳法是从个别性知识，引出一般性知识的推理，是由已知真的前提，引出可能真的结论。它把特性或关系归结到基于对特殊的代表(token)的有限观察的类型;或公式表达基于对反复再现的现象的模式(pattern)的有限观察的规律。

(一)选择题

1、在验证n=1成立时,左边所得的项为[]

A.1B.1+a

2、满足1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=3n2-3n+2的自然数等于()

A.1;B.1或2;C.1,2,3;D.1,2,3,4;

3、在数列{an}中,an=1-…则ak+1=()

A.ak+;B.ak+C.ak+.D.ak+.

4、用数学归纳法证明"当n为正奇数时,xn+yn能被x+整除"的第二步是()

C.使n=k时正确,再推n=k+1正确;D使n≤k(k≥1),再推n=k+2时正确(以上k∈Z)

：

1、C

2、C用排除法,将4,3依次代入,所以选C.

3、D.

4、B因为n为正奇数,据数学归纳法证题步骤,第二步应先设第k个正奇数也成立,本题即设n=2k-1正确,再推第k+1个正奇数即n=2k+1正确.

(二)填空题

1、用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1左边所得的项是______;从"k→k+1"需增添的项是______.

2、用数学归纳法证明当n∈N时1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数时,当n=1时原式为______,从k→k+1时需增添的项是______.

：

1、1+2+3,(2k+2)+(2k+3);

2、1+2+22+23+24,25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4.

（三）解答题

1、10个三角形最多将平面分成几个部分?

解：设n个三角形最多将平面分成an个部分。

n=1时，a1=2;

n=2时，第二个三角形的每一条边与个三角形最多有2个交点，三条边与个三角形最多有2×3=6(个)交点。这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即a2=2+2×3。

n=3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3=12(个)交点，从而平面也增加了12个部分，即：

a3=2+2×3+4×3。

一般地，第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有2(n-1)×3个交点，从而平面也增加2(n-1)×3个部分，故

an=2+2×3+4×3+…+2(n-1)×3

=2+[2+4+…+2(n-1)]×3

=2+3n(n-1)=3n2-3n+2。

【篇三】

1.用数学归纳法证明"当n为正奇数时,能被x+y整除"第二步归纳设应写成[]

A.设n=2k+1(k∈N)正确,再推n=2k+3正确

B.设n=2k-1(k∈N)正确,再推n=2k+1正确

C.设n=k(k∈N)正确,再推n=k+1正确

D.设n=k(k≥1)正确,再推n=k+2正确

2,利用数学归纳法证明"平面内有n个圆,其中每两个圆都交于两点,且无三个圆交于同一个点,则这n个圆将平面分成个部分"时,第二步归纳设:圆的个数从k个增加到k+1个时,应增加的区域个数为[]

A.2kB.kC.k+1D.

3,k棱柱过侧棱有f(k)个对角面,则k+1棱柱过侧棱的对角面的个数f(k+1)为[]

A,B,C,D,

数学归纳法证明

=9/3(k+5+1)

当n=1时，左式=3/（122）=3/4

这个一般应用于数列方面。种是证明题，步骤一般如下，首先证明项满足证明，再设第k项也满足，再用这个设的条件去证明第k+1项也满足，综上任意一项都满足证明，命题得证；第二种是求通向公式，你先写出前几项，然后你会发现这几项都满足某一个通向公式，接着你就猜想这个数列的通向公式就是这个，证明，步骤同上。数学归纳法用处真的很大，能够提前自学。

右式=1-1/（22）=3/4

左式=右式，等式成立。

设n=k时，等式成立。Sk=1-1/（（k+1）2^k）

则n=k(一)归纳推理+1时，

左式=Sk+1=Sk+（k+3）/（（k+1）（k+2）2^（k+1））=1-1/（k（k+1）2^k）+（k+3）/（（k+1）（k+2）2^（k+1））

数学归纳法证明步骤

这个简单啊

用小猿

求用数学归纳法证明二项式定理的步骤

设当n=k时成立,即:ak=3/(k+5)

当n=1设当n＝k时，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立;时，左边＝（a+b)1＝a+b

① 归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

右边＝C01a+C11b=a+b;左边＝右边

则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn](a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]a＋[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]b＝[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)

∴当n=k+1时，等式也成立；

数学归纳法的难度在哪?平时怎样练习归纳法？

考点2：分析[解析]法

这个它的步骤都是固定的，先验证n=1的时候，它是成立的， 然后难点在K，到K+1的推导，你要利用已知条件和K成立的公式，平时呢，就是多做几道练习题就可以了，然后具体K到K+1推导的技巧，就看你平时的积累了，熟能生巧嘛，总结练习经验才是最有效地。

C.1+a+a2D.1+a+a2+a3

数学归纳法的的题目难度不大，都是些“八股文式”的题目，有固定的格式，很简单的。

不难，从结论倒推回去，然后在用数学归纳法证明

数列 中， ． (Ⅰ)求 ， ， ， ； (Ⅱ)猜想 的表达式，并用数学归纳法加以证明．____

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

【分析】 (1)由 ．我们依次将n=1，2，31：证明当n=1,2,……,k时命题p(n)成立，4…代入，可以求出a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ； (2)观察(1)的结论，我们可以推断出a n 的表达式，然后由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时是否成立，然后设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立． (Ⅰ)∵ ， ∴ ，即a 1 =1， ∵ ，即a 1 +a 2 =4-a 2 -1，∴a 2 =1， ∵ ，即a 1 +a 2 +a 3 =4-a 3 - ，∴a 3 = ， ∵ ，即a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =4-a 4 - ，∴a 3 = ， (Ⅱ)猜想 证明如下：①当n=1时，a 1 =1，此时结论成立； ②设当n=k(k∈N )结论成立，即 ， 那么当n=k+1时，有 ∵ ∴ ， 这就是自然数集是有序的说n=k+1时结论也成立． 根据①和②，可知对任何n∈N 时 ． 【点评】 数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．

高二数学推理知识点大总结

所以，综合1、2、，原命题对任何自然数成立

高中数学的推理要么不出，要么直接在出一个答题占据很多分数，但是做这个题目又很花费时间，原因是因为对知识点不清楚，我在此整理了相关资料，希望能帮助到您。

1. 从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特说的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理。

一、知识网络

二、合情推理

1. 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。

2. 归纳推理的一般步骤：

步，通过观察个别情况发现某些相同的性质;

题型1：用归纳推理发现规律

(1)观察：

对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 ____.

点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故

(2)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图。其中个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数。则

【解题思路】找出的关系式

总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

(二)类比推理

1. 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

2. 类比推理的一般步骤：

步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;

第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.

题型2：用类比推理猜想新的命题

(1)已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.

【解题思路】从方法的类比入手

原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法，

即正四面体的内切球的半径是高

总结：

① 不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比。

② 类比推理常见的情形有：平面向空间类比;低维向高维类比;等数列与等比数列类比;实数集的性质向复数集的性质类比;圆锥曲线间的类比等

1. 定义：归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。简言之，合情推理就是合乎情理的推理。

2. 推理的过程：

思考探究最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:：

(1)归纳推理与类比推理有何区别与联系?

② 类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

三、演绎推理

(一)含义：

1. 演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。演绎推理又叫逻辑推理。

2. 演绎推理的特点是由一般到特殊的推理。

(二)演绎推理的模式

(1)大前提——已知的一般原理(M是P);

(2)小前提——所研究的特殊情况(S是M);

(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S是P)。

2. 从的角度看演绎推理：

(1)大前提：x∈M且x具有性质P;

(2)小前提：y∈S且SM

(3)结论：y具有性质P

合情推理与演绎推理的关系：

2. 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。

四、直接证明与间接证明

(一)三种证明方法：综合法、分析法、反证法

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

反证法：它是一种间接的证明方法。用这种方法证明一个命题的一般步骤：

(1)设命题的结论不成立;

(3) 断言设不成立

(4)肯定原命题的结论成立

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。

重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题

考点1：综合法

在锐角三角形中，求证：

已知，求证

总结：注意分析法的“格式”是“要证—只需证—”，而不是“因为—所以—”

考点3：反证法

已知，证明方程没有负数根

【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾

总结：否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多

五、数学归纳法

1. 数学归纳法的定义：

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：

(1)证明当时命题成立;

(2)设当时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立。这种证明方法称为数学归纳法。

2. 数学归纳法的本质：

3. 数学归纳法步骤：

(1)(递推奠基)：当n取个值结论正确;

(2)(递推归纳)：设当时结论正确;(归纳设)

证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证明)

题型1：已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已设时命题为真，则还需证明( )

A. n=k+1时命题成立

B. n=k+2时命题成立

C. n=2k+2时命题成立

D. n=2(k+2)时命题成立

[解析]因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B

总结：

用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：

(1)n的范围以及递推的起点

(2)观察首末两项的次数(或其它)，确定n=k时命题的形式

(3)从的异，寻找由k到k+1递推中，左边要加(乘)上的式子

题型2：用数学归纳法证明不等式

总结：

(1)数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行;

(2)归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形;

数学归纳法是怎样用的?数学归纳法什么时候不能用 什么时候不能用

……

我们都学过数学归纳法,非常精妙的一种数学方法,其主要用于证明某个命题在自然数范围内成立.大概步骤如下：

所以对于任意正整数，等式都成立

1：四个数中两奇两偶，一定有4的倍数，3的倍数，还有另一个偶数，所以一定能被423=24整除 。设当n=1时命题成立；

3：从而可以证明此命题成立.

这就是我们常见的数学归纳法.名叫归纳法.事实上,数学归纳法可不止这一种形式,他有多种变体,除了我们可以从n=3等开始,或者是只考虑n为奇数偶数等,还有下面的完整归纳法：

2：证明p(m),p(m+1),p(m+2)……,p(m+k-1)成立,能推导出p(m+k)成立.从而证明此命题成立.也就是将归纳法里的一个推一个换成多个推一个.我们以一个例子,那就是证明菲波拉契数列的通项公式：

证明：当n=1,2时,可以检验其成立.

设当n=k和n=k+1时命题皆成立,即：

从而证明了这个通项公式的正确.关于数学归纳法的内容,远不止我们中学所学的那么点.就此一例,希望能让各位同学打开自己的眼界,去探寻真正的数学王国.

数学归纳法猜想问题

第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)。

等号两边同乘n，nan-na(n-1)=a（n-1）+n(n+1) a(n-1)这项合并，nan=n(n+1)+n(n+1) 再除以n(n+1), an/(n+1)--a(n-1)/n=1 所以an/(n+1)是等数列

an/(n+1)=3+n-1

an=(n+2)(n+1) 求采纳。。。。。。。。。

a2-a1=a1/2特别地，当n=10时，a10=3×102+3×10+2=272，即10个三角形最多把平面分成272个部分。+2+1=6，a2=12

a3-a2=a2/3+3+1=8，a3=20

a4-a3=a3/4+4+1=10，a4=30

a5-a4=a4/5+5+1=12，a5=42

猜测an=（n+1）（n+2）

设当n=k时，ak=（k+1）（k+2）

则a(三)合情推理k+1-ak=ak/k+1+k+1+1=2k+4，ak+1=（k+2）（k+3）=【（k+1）+1】【（k+1）+2】

an -a(n-1)=[a(n-1)/n] +n + 1,是这样的吗？

解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.用数学归纳法证明:.

第二题 n=1显举例：然成立

利用数学归纳法的证明的步骤,验证时等式成立;设当时,等式成【 #小学奥数# 导语】归纳推理是一种由个别到一般的推理。由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。自然界和中的一般，都存在于个别、特殊之中，并通过个别而存在。以下是 考 网整理的相关资料，希望对您有所帮助。立,证明时,等式也成立,即可.

证明:当时,左边,右边左边,等式成立.(分)设当时,等式成立,即.(分)则当时,左边.时,等式也成立.(分)由,可知,原等式对于任意成立.(分)

本题是中档题,考查数学归纳法的证明步骤和方法,注意时,与时等式的结构形式必须一致.

什么是归纳法，举例说明

一般书写的格式为：

在科学研究中运用归纳方法提出和建立说，在实验基础上抽象和概括事物之间关系的一种科研方法。它是一种由个别到一般、从特殊到普遍、从经验事实到事物内在规律性的认识手段和模式。按照它自身的特点，大体可分为枚举归纳、消去归纳、渐近归纳、综合归纳4种类型。

即也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于

科学归纳法的特点是：归纳逻辑的结论内容超出了前提所包含的内容，因而它是人们扩大知识、增加知识内容的一种逻辑手段。因此，其结论与前提之间的关系是或然关系 。归纳方法可用于提出说和形成科学理论，但其归纳过程和思想上的直接猜测与设不同。基于以上原因，运用科学归纳法应注意时时用经验、事实和实验对归纳的合理性和正确性给予验证，还必须注意用更概括的归纳校正所归纳的结果，在归纳过程中还应综合使用各种逻辑方法并使之有机结合起来。

例如，得出金属受热体积必然增大就可用这种科学

归纳法。

因为：铜受热体积增大，铁受热体积增大，如果金属受热，那么分子距离加大，如果金属分子距离加大，那么体积增大，所以，金属受热体积增大。

科学归纳法不仅适用于有限类，而且适用于无限类；不仅可以作为科学发现的方法，而且可以作为证明方法。它在科学认识过程中具有广泛的、重要的作用。

是指数学归纳法吗?它是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是的结构归纳法。最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:

递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。

递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳设。 不要把整个第二步称为归纳设。)

这个方法的原理在于步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。或许想成多米诺效应更容易理解一些；如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：

张骨牌将要倒下。

只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒。

那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

被使用。

注意到有些其他的公理确实的4.求证n能被9整除.是数学归纳法原理中的二者择一的公式化。更确切地说，两个都是等价的

1。证明当n为某一个值时，结论是成立的。

2。定n=k时成立，证明n=k+1时，结论也是成立的。

条的证明是第二条设能够成立的依据。可以想象，有了条的证明，比如n=1时成立，那么在第二条中定n=k时成立，就有了依据。这时k=1。

经过第二条的证明，k=2时结论也就成立了。于是在k=2时设是一定成立的......

如果没有条的证明，那么第二条的设就不一定成立了。

数学归纳法有两个关键步骤：

1.证明当n为某一个值时，结论成立；

2.定n=k时成立，证明n=k+1时，结论也成立。

如果只证明第二条，不证明条的话，是会出现你说的矛盾，这个叫循环论证，是不严密甚至是错的。

一定要先证明一个特殊情况成立的时候才能用第二步证明其他情况也成立。

求证:5个连续自然数的积能被120整除

：

1、当n=1时12345=120，能被120整除，原命题成立

2、设当n=k时原命题成立，则当n=k+1时

（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）

=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）

+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）

因为k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数

只需证5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数

即欲证（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍数

即当n=k+1时原命题成立

又一例：

已知：a1=1/2,1+an=3an/3+an(n属于正整数),则an=

an=3/(n+5)

解：a1=1/2=3/6

a2=3/7,a3=3/8,a4=3/9,a5=3/10....

猜想：an=3/(n+5)

证明：当n=1时，a1=1/2=3/6

则当n=k+1时有ak+1=3ak/(3+ak)

=3/[(k+1)+5]

所以an=3/(n+5) （n为正整数）