克鲁斯卡尔算法：最小生成树的有效构建

在计算机科学中，最小生成树 (MST) 是图论中的一个基本概念。MST 是一棵连通树，它包含图中所有顶点，并使用最少的边来连接它们。克鲁斯卡尔算法是一种贪心算法，用于有效计算无向图的 MST。

克鲁斯卡尔算法：最小生成树的有效构建

克鲁斯卡尔算法：最小生成树的有效构建

算法步骤

克鲁斯卡尔算法的步骤如下：

1. 将图中的每个顶点初始化为一个单元素。 2. 根据权重从小到大对图中的所有边进行排序。 3. 对于每个边 e=(u, v)，执行以下步骤： - 如果 u 和 v 所在的不同，则将它们合并为一个。 - 否则，忽略此边。 4. 重复步骤 3，直到所有顶点都在一个中。

算法示例

考虑以下图：

``` A---2---B / / 1 / 5 / / C---3--D ```

使用克鲁斯卡尔算法：

1. 初始：{A}, {B}, {C}, {D} 2. 排序后的边：(A, C), (B, C), (A, B), (B, D), (C, D) 3. (A, C): 合并 {A} 和 {C} => {A, C} 4. (B, C): 合并 {B} 和 {A, C} => {A, B, C} 5. (A, B): 忽略，因为顶点已经在同一个中。 6. (B, D): 合并 {B, D} 和 {A, B, C} => {A, B, C, D} 7. (C, D): 忽略，因为顶点已经在同一个中。

因此，MST 为：

``` A---2---B / 1 / C---3--D ```

复杂度

克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为 O(E log V)，其中 E 是图中的边数，V 是顶点数。这是因为排序边的时间复杂度为 O(E log E)，而合并的时间复杂度为 O(log V)。

应用

克鲁斯卡尔算法广泛应用于各种问题中，包括：

网络设计 电路板布局 聚类分析 图形处理

结论